原標(biāo)題：撞墻之后高斯波包如何折返？《張朝陽的物理課》解密高斯波包的傳播過程

一個具有初速度的微觀粒子如何運動？粒子面對高墻如何回頭？單個的微觀粒子會自涉嗎？

對自由粒子演化問題的回顧

那么此后任意t > 0時刻，它的演化就已經(jīng)被唯一地確定了。

研究方程具體的解時，可以方便地引入兩個空間的概念。第一個空間是k空間，一般又被稱為“動量空間”；另一個空間是x空間，也稱為“坐標(biāo)空間”。一個微觀粒子的狀態(tài)，既可以用k空間上的波函數(shù)描述，也可以用x空間上的波函數(shù)描述，兩者之間通過傅里葉變換相互聯(lián)系。一個簡單的例子是一個平面波：

它同時是動量算符和哈密頓量算符的本征函數(shù)。如果在初始時刻，一個粒子是這樣一個平面波，隨后它的演化就只有一個含時相位的差別：

其中與能量相關(guān)的：

這個關(guān)系又被稱為薛定諤方程的色散關(guān)系，它刻畫了波函數(shù)演化的行為特征。

但張朝陽提醒大家，如果一個粒子處在平面波的狀態(tài)，我們將完全無法確定它的位置。而在自然界中，一個真實的粒子我們總能給出它所在的一個大概范圍，同時它所具有的動量也會有一個大致的范圍，兩者同時都是不確定的。這即是我們常常提到的不確定性原理，用數(shù)學(xué)來表達(dá)就是：

其中，系數(shù)：

給出了在初始時刻的波函數(shù)如何由動量本征態(tài)疊加而成。

于是可以知道：

這里利用到了前幾節(jié)課上一直在強(qiáng)調(diào)的轉(zhuǎn)換為高斯積分的技巧。如果記：

則又可以將結(jié)果簡寫為：

它對應(yīng)概率密度：

與具體的空間坐標(biāo)x無關(guān)。在前面的課程中，張朝陽對此做出過解釋：因為這樣一個粒子由無數(shù)個、任意速度的、平權(quán)的動量本征態(tài)組合而成，其中包含了有無窮大的速度的成分，在一瞬間它將會跑到無窮遠(yuǎn)的地方。因為目前我們考慮的是非相對論性的量子力學(xué)，所以在這里出現(xiàn)無限大的速度也并不奇怪。

得到單個δ函數(shù)的演化后，我們可以認(rèn)為在每個空間點上都有一個δ函數(shù)，最后的演化結(jié)果是它們各自獨立演化結(jié)果的疊加：

代入靜止高斯波包作為初始條件，可以計算到：

它對應(yīng)的概率密度為：

它也是一個高斯分布。加上含時相位后疊加得到：

向前運動的高斯波包的自由演化

在前面的課程中，我們考慮了靜止的高斯波包的演化行為，也討論過經(jīng)典的波包的傳播行為，介紹了群速度和相速度的概念?，F(xiàn)在自然就可以問一個問題：如果初始時刻，一個高斯波包帶有不為零的群速度：

它應(yīng)該如何演化呢？首先前面的課程中已經(jīng)分析過，因為一個波包刻畫的是一個微觀粒子，群速度恰好可以與它的經(jīng)典速度對應(yīng)，所以首先可以期望這個波包應(yīng)該在向前傳播。但是，我們又分析過，借鑒經(jīng)典波動力學(xué)的經(jīng)驗，直接替換：

于是可以給出：

在這個基礎(chǔ)上，我們可以將含時相位加入，然后作積分：

這里我們用了變量替換，將原本對k的積分轉(zhuǎn)變?yōu)閷Γ?/p>

是一致的，僅相差一個代換：

事實上，這一點也符合我們的預(yù)期。利用靜止波包的計算結(jié)果，立刻可以得到：

對應(yīng)的概率密度為：

正如前面定性分析得到的結(jié)果，它即在向前傳播，同時整個波包的寬度也在逐漸變大。

高斯波包的反彈與自涉

有了自由傳播的高斯波包的解，我們就能討論一個更有意思的問題。如圖，假設(shè)在x ≥ l處有一堵無限高的墻，而初始時刻，在原點處有一個具有群速度：

向右傳播的高斯波包，它在傳播時不可避免地會撞到墻上，接下來會發(fā)生什么事情呢？

首先分析加入墻帶來的影響，由之前我們解無限深方勢阱的經(jīng)驗可以知道，無限高的墻意味著：

這一個邊界條件，而在x < l部分，波函數(shù)的演化同樣遵循自由粒子的薛定諤方程。其次，回憶之前我們求解熱傳導(dǎo)問題時候用過的“奇延拓”的技巧，我們可以這樣求解這個問題：首先我們將墻“壓縮”到一個點上，然后假設(shè)整個系統(tǒng)以墻為軸是對稱的。換句話說，假設(shè)在墻的“另一面”也是自由的：

如果墻的左側(cè)有一個波包：

在墻對稱的位置處會有一個完全相同，但運動方向相反的波包：

而我們想要求解的波函數(shù)是它們的疊加：

它會自然滿足邊界條件：

從前面的計算中，我們已經(jīng)可以給出：

對于右側(cè)的波包，我們希望能夠在這個基礎(chǔ)上，通過一些簡單的變化來得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)。首先，它頂點的位置和左側(cè)的波包關(guān)于墻對稱，于是需要有替換：

其次，兩者相對而行，所以它們的群速度或者說初始的波數(shù)之間應(yīng)該滿足變換：

這樣，我們就得到：

把這兩個波函數(shù)組合起來，經(jīng)過一定的整理后，可以得到：

對這個式子稍作分析。首先我們假設(shè)l很大，也就是t = 0時刻，波包應(yīng)該在距離墻非常遠(yuǎn)的地方，以至于感受不到墻的存在。此時：

顯然有：

此時近似地只有左側(cè)波包有貢獻(xiàn)：

可以看成是一個自由向右傳播的波包。另一方面，同樣保持l很大這一假設(shè)，考慮在很長一段時間后（t → +∞），有：

于是有：

正相反，此時近似只有右側(cè)波包有貢獻(xiàn)：

也就是可以將其看成是一個自由反向傳播的波包。換句話說，也可以這樣解釋“奇延拓”技巧，左邊的波包即使來向的原始波包，右邊的波包即是被墻反彈之后去向的反射波包，總的波包是它們二者的疊加。

圖上我們將“墻”設(shè)置在x = l = 100處，時間取動畫幀數(shù)標(biāo)記。不難看到，在經(jīng)典碰撞事件附近，同一個粒子的原始波包和反射波包之間會產(chǎn)生強(qiáng)烈的相互干涉，產(chǎn)生類似于光學(xué)中“干涉條紋”的現(xiàn)象。

本節(jié)課相關(guān)視頻如下：

運行高斯波包的波函數(shù)計算

運動高斯波包的反射

有障礙物存在的數(shù)學(xué)描述