原標題：張朝陽跨年演講《About Time & General Relativity》

洛倫茲變換怎么用幾何轉(zhuǎn)動的觀點理解？加速參考系看到的閔氏時空長什么樣？等效原理和測地線是什么？愛因斯坦場方程怎么推導出來？史瓦西解是怎么從場方程推導出來的？用相對論如何計算GPS對距離所需的修正？

2023年12月31日，搜狐創(chuàng)始人、董事局兼首席執(zhí)行官、物理學博士張朝陽舉行跨年演講，跟大家一起學習廣義相對論，加深對時間的理解。張朝陽首先回顧了狹義相對論，考慮加速觀者所看到的世界，接著類比三維空間中的直線，強調(diào)了彎曲時空中的測地線和等效原理。

而后，張朝陽詳細地推導并講解了黎曼曲率張量的含義。緊接著，張朝陽根據(jù)能動張量的守恒性質(zhì)和比安基恒等式（Bianchi identities），給出了愛因斯坦張量，并假設愛因斯坦張量正比于能動張量。在弱場近似的條件下，張朝陽比較了測地線方程和牛頓引力下的泊松方程，獲得了愛因斯坦張量與能動張量的比例系數(shù)，通過量綱分析完整地推導出了愛因斯坦場方程。然后，張朝陽計算了著名的史瓦西時空解。最后，根據(jù)史瓦西解，張朝陽計算了GPS衛(wèi)星每天的定位誤差。

狹義相對論回顧

要理解廣義相對論則離不開始于狹義相對論的時空觀。時間和空間并非獨立的而是一個整體。在整個時空里我們只關心只有洛倫茲變換下協(xié)變的量，其中最重要的不變量就是時空中的度規(guī)或者等價的線元，即時空間隔。如何理解時空間隔以及相應的洛倫茲變換，可從歐氏空間的轉(zhuǎn)動作為類比開始研究。

假設在二維歐氏空間中有一個矢量R，其在原坐標系中的坐標是(x,y)，與x軸的夾角為θ，

現(xiàn)將坐標系旋轉(zhuǎn)角度φ，經(jīng)過這個旋轉(zhuǎn)變換得到矢量R的另一個坐標

新舊坐標之間的關系為

可以看出，歐氏空間中一個矢量在轉(zhuǎn)動變換下是不變量。類似地，時空中的洛倫茲變換也是某種轉(zhuǎn)動，稱為偽轉(zhuǎn)動。我們?nèi)砸?維為例，不同之處在于其中的一維是時間。此時表示不變量的時空間隔可用雙曲三角函數(shù)展開

對這樣一個量做坐標變換為

其中

我們最終得到如下關系

這就是洛倫茲變換，在閔氏時空中起到類似于轉(zhuǎn)動的作用。閔氏時空的線元寫為

或者用更整齊的二次型表示

其中

稱作閔氏度規(guī)。

加速參考系和Rindler時空

我們用（T，X，Y，Z）表示一個慣性坐標系，用（t, x , y, z）表示勻加速坐標系。存在一個如下的坐標變換聯(lián)系兩個坐標系

其逆變換為

若x為一常數(shù)，可看出此逆變換在慣性系中描述的就是一條雙曲線。進一步讓x變化，就可以用無數(shù)條互不相交的雙曲線將慣性系所描述的 -X<T<X的區(qū)域覆蓋。我們對上述正變換求微分，得到

將之代入閔氏時空的線元中

即可獲得勻加速系下的線元表達式

上述的坐標變換只有在區(qū)域

上成立，這一塊區(qū)域被稱為Rindler楔形（Rindler wedge）。從上面的Rindler坐標下的線元可以看出，一個粒子在時空中運動若滿足在空間位置處的下述條件

則此世界線的原時與加速系的時間等價

在各個不同的x和y點的所有做不同勻加速運動的粒子，可將Rindler楔形填滿。如果換成快度（rapdity）φ和x'來表述，有

從線元

中我們就可以看到加速系看到的閔氏時空似乎存在著某種“彎曲”。這為愛因斯坦在后面創(chuàng)立廣義相對論提供了一些線索和端倪。

等效原理與測地線方程

張朝陽說，任意一時空，從局部來看，都與閔氏時空無法區(qū)分，或者可以說，時空可以被看作是由一個個閔氏時空拼接而成的。在這個時空中，所有物質(zhì)都不再以占據(jù)一定空間體積的存在方式存在，而是被描述為一條世界線，其中每一點代表物體在空間中的位置延伸。愛因斯坦在狹義相對論發(fā)表后，開始思考如何描述加速觀者，也就是非慣性觀者的世界線。同時，他也對引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等的現(xiàn)象感到困惑。

張朝陽緊接著說到，我們知道，帶電物體之間會產(chǎn)生庫侖力，而庫侖力的大小與電荷量成正比，與物體質(zhì)量無關。然而，萬有引力不同，它的“荷”實際上就是物體的慣性質(zhì)量。這啟發(fā)了愛因斯坦思考：究竟是不是真的存在一種叫做引力的“力”？或許引力只是與物體慣性相關的某種“慣性力”？另外，加速運動中的物體看到的世界與慣性觀察者看到的世界是不同的，仿佛時空發(fā)生了一種“扭曲”。例如，坐在自由下落電梯中的觀察者只感受到引力的影響，幾乎無法區(qū)分他所經(jīng)歷的是某種慣性力還是萬有引力。因此，愛因斯坦大膽地猜測：引力可能并不是真正的力量，而是由于時空的彎曲所產(chǎn)生的某種慣性效應。這里需要強調(diào)的是，只有當存在引力相互作用時，時空才會真正發(fā)生彎曲。時空的彎曲是絕對的，不依賴于觀察者的角度。

在彎曲時空的概念中，引力不再被視為一種力量，而是一種幾何效應。因此，需深入研究時空彎曲的微分幾何性質(zhì)。張朝陽通過一個生動的白紙示例引入了平直空間的概念。他指出，即使在從三維空間到二維圓柱面的情況下，空間仍然可以保持平直性，這意味著兩條平行線在此仍然不會相交，并且勾股定理和三角形內(nèi)角和等于180度的規(guī)則仍然適用。然而，當我們考慮到球面這種存在曲率的情況時，情況發(fā)生了變化，三角形的內(nèi)角和不再等于180度，而且兩條平行線在球面上會相交。因此，我們需要將平直空間的一些概念和定義推廣到彎曲的時空中。

但是到目前我們?nèi)匀徊磺宄蛻T性之間是如何對應的。而愛因斯坦繼續(xù)思考，平直時空中做慣性運動的觀者走的是直線，既然引力不過是讓時空彎曲，那么只要找到彎曲時空中的“直線”，慣性觀者仍然走這樣的“直線”就行了。所以我們需要將平直時空中的直線的概念推廣到彎曲時空中，這就是測地線的概念。張朝陽以一趟從北京飛往紐約的飛行為例進行了說明。他解釋了飛機選擇的航線，該航線經(jīng)過北極上空，穿過安卡拉等城市，這條路徑實際上是兩個城市之間的最短路徑，它是大圓的一部分。在三維平直空間中，我們可以將直線視為一個矢量沿著自身平移而形成的路徑。

在三維平直的空間中，一個矢量 F

沿著一條曲線平移，其變化為

其中這條曲線的線長參數(shù)為s。如果我們讓這里的F就是矢量v本身，并且這一改變量為0，根據(jù)上面提到的直線的定義，這就是一條直線：

其中我們用到了V的切矢表達式

這里的坐標x的解是

其中x0和v0是常數(shù)，這就表示一條三維平直空間中的一條直線。但在非平直空間的曲面坐標系中，在平移的時候標架也會改變，我們須把這種沿著曲線平移的改變量寫為

其中的克氏符就是表示為標架改變的一個效應：

因此在彎曲時空中，將普通導數(shù)推廣成了上述的協(xié)變導數(shù)。我們現(xiàn)在認為矢量F是曲線的切矢，后面記為V，它沿著自己的積分曲線平移，其中線長參數(shù)為s，則方程可以重寫為

若此方程等于0，則定義了測地線方程，也就是彎曲時空中的直線：

其中克氏符可以用度規(guī)張量表達

將方程重寫為

則可以重新理解牛頓的萬有引力，引力產(chǎn)生的加速度實際上就是幾何效應，由時空彎曲帶來的。

愛因斯坦場方程

理解了測試粒子在時空彎曲中走起來會出現(xiàn)一個看起來的非零加速度后，我們就應該思考時空如何被物質(zhì)所彎曲，也就是引力的源頭怎么來描述的。張朝陽提醒到思考這個問題的線索可從牛頓引力的泊松方程和力出發(fā)

從這兩個方程出發(fā)，可以想像，力會導致動量密度流的傳遞，同時一個方向動量密度的改變可能導致另外兩個方向的動量密度的改變，即產(chǎn)生壓強，這些情況都會讓引力勢發(fā)生改變，但是這些效應都不能從泊松方程中體現(xiàn)出來，所以用能量密度這一個標量描述引力似乎自由度還不夠。從這些可能性去構造物質(zhì)部分，我們可以直接給出一個二階的能量動量張量去描述物質(zhì)

這里的00分量表示物質(zhì)的能量密度ρ，0i分量表示沿空間i方向上的能流密度，ij分量代表動量密度的i分量在j方向上的變化率。因此可以猜測場方程的形式應該是

其中c1是一個比例系數(shù)，左邊應是描述時空彎曲的二階張量。

時空的彎曲可以用曲率描述，我們下面再看一下曲率的意義。一個協(xié)變矢量V在一個空間中沿著一條方向為r的曲線從P平移到Q點，假設這一段很小，則相當于坐標做了如下變化

即坐標的變化量為dx。因此平移到Q點處的矢量V'變成為

而其中協(xié)變導數(shù)為

這里的第一項是一個普通導數(shù)，第二項可理解為由于基矢變化而導致的矢量V的變化。此二階張量DV的分量可表示為一個4x4的矩陣。如果矢量V'再沿著方向為s的曲線從Q點平移到R點，仍舊假設這一段路徑很小，則相當于坐標又做了如下變化

即坐標的變化量為dx'。類似地，平移到S點處的矢量V''變成為

其中我們用到了協(xié)變導數(shù)的線性性

現(xiàn)在我們類似地讓矢量V平移兩次，但先沿著方向為s的曲線平移dx'到達Q1點，再沿著方向為r的曲線平移dx到達R點，則新的矢量V''' 為

接著我們把這兩個矢量V''和V'''相減得到

其中用到了對坐標基矢的普通導數(shù)等于0的條件以及克氏符的對稱性

因此我們可定義黎曼曲率張量R為

使得兩種平移所得的矢量V''和V'''與原先的矢量V有如下線性關系

黎曼曲率張量的定義說明，一個矢量的二階協(xié)變導數(shù)交換次序后產(chǎn)生的三階張量，等于一個四階的張量與矢量自身的縮并。根據(jù)黎曼曲率張量的定義，可將協(xié)變導數(shù)表示為普通導數(shù)和克氏符的組合

由于矢量V 是任意的，因此黎曼曲率張量可以表示為克氏符沿兩個方向的導數(shù)之差加上克氏符的乘積之差

黎曼曲率張量是一個四階的張量，而能動張量是一個二階的張量，它們之間不能直接相等。為了讓這兩個張量產(chǎn)生直接的聯(lián)系，同時考慮到對稱性，黎曼曲率張量可以分解成外爾張量（Weyl tensor），里奇張量（Ricci tensor）和里奇標量（Ricci scalar），其中里奇張量和里奇標量跟克氏符的關系如下

并且假設構成如下線性組合的形式

G是一個二階對稱張量，帶下指標s和n的R也是一個對稱張量，稱之為里奇張量（Ricci tensor），最后一個標量R稱之為里奇標量。

我們再回到場方程的構造問題上。能量動量張量需滿足守恒的要求，即能動張量的散度為零

假設我們方程的構造也是一個線性的形式

則能動張量的守恒條件要求

用度規(guī)張量把自由指標拉到下面，可以得到

即

此時將公式（20）定義的張量G中的比例系數(shù)a除到后面的兩個系數(shù)中，由此我們得到了更簡潔的形式

在微分幾何中存在一個關于黎曼曲率張量的恒等式，即比安基恒等式：

將上述的比安基恒等式縮并，即

可得到

再用兩個指標在上的度規(guī)g作用到方程上縮并，得到

因此我們獲得了系數(shù)

也計算出了場方程進一步的形式

或者寫成指標全部在下方的形式

為確定待定系數(shù)c2，我們可以考慮弱場極限，此時廣義相對論應回到牛頓引力，引力勢能滿足泊松方程

泊松方程中出現(xiàn)了物質(zhì)的密度，而在能動量張量中，00分量代表物質(zhì)的密度，這提示我們愛因斯坦場方程的00分量應該可以在弱引力下退化為牛頓引力中的泊松方程。

在弱場近似下，度規(guī)可表達為閔氏度規(guī)下的微擾

將測地線方程中加速度項的原時替換為坐標時t，并聯(lián)立測地線方程

得到

其中用到了測地線的第0分量

在低速下

測地線方程進一步化簡為

將度規(guī)代入克氏符中，保留一階小量得到

我們得到加速度為

或者

此加速度與引力勢的關系為

對比上面兩加速度，我們得到

或

度規(guī)的微擾項的h除00分量非零外，另外的分量都為0，代入到里奇張量中得到

里奇張量的00分量和里奇標量為

將里奇張量和里奇標量代入到場方程中可直接得到

其中左邊方程的最后一步用到了泊松方程。對比兩邊的形式可得待定系數(shù)$c_2$為

經(jīng)過量綱分析

其中分母中的c平方來自于T00表示能量密度。從上式可以得到n=4，因此我們將光速c補上，得到完整的愛因斯坦場方程

史瓦西解

愛因斯坦在1915年得到了正確的場方程形式后，不期望馬上得到一個非平凡的解析解，但在一年后由史瓦西（Schwarzschild）推導出了靜態(tài)球?qū)ΨQ的度規(guī)解，這讓愛因斯坦十分驚訝和開心，也為后面愛因斯坦得到星光偏折、水星近日點進動和引力紅移提供了基本支持。

要求解度規(guī)，可先將度規(guī)的分量形式做一個假設，進而進一步推導其形式。因考慮的時空是靜態(tài)球?qū)ΨQ的，存在沿著t方向的對稱性和SO(3)對稱性，所以度規(guī)的分量不會含有時間和角度，度規(guī)分量只可能是描述距離r的函數(shù)。靜態(tài)時，存在沿著t方向的對稱性，而且可讓度規(guī)寫成如下形式

這叫時軸正交坐標系（time-orthogonal coordinate system）。而球?qū)ΨQ和靜態(tài)條件可把空間部分的度規(guī)寫成

因此靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)的形式可寫為

而且根據(jù)上面的說法，這些度規(guī)系數(shù)只是r的函數(shù)。我們重寫為更加方便的形式

滿足真空愛因斯坦方程的靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)稱為史瓦西真空解(Schwarzschild vacuum solution)，簡稱史瓦西解，在物理上描述一個球?qū)ΨQ恒星(如太陽)的外部引力場。我們將真空愛因斯坦場方程用度規(guī)縮并，得到

進而場方程變?yōu)?/p>

這被稱為里奇平坦條件。由于靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)(線元)的一般形式只含兩個待定一元函數(shù) A(r) 和B(r)，方程的求解變得簡單：用這兩個函數(shù)表出里奇張量，令其為零并對所得的關于A(r) 和B(r)的微分方程求解便可。我們首先代入度規(guī)計算克氏符

得到非零的克氏符分量

其中A’，B'表示對r求導。再把克氏符代入到黎曼曲率張量中，縮并后得到非平凡的里奇張量為

張朝陽強調(diào)，學習廣義相對論應該親自下場計算一遍上述的克氏符和里奇張量，才能找到一些學習廣義相對論的感覺。由里奇平坦條件可得到如下的3 個關于待求一元函數(shù)A(r) 和B(r)的微分方程

前兩個等式相減得到

即有

這個要求可將得到的最后一個微分方程化簡為

其通解為

其中α為積分常數(shù)。我們得到了度規(guī)分量的表達式

重新定義坐標t，將常數(shù)C吸收進去，得到

這就是史瓦西真空解(施瓦西度規(guī))。當r非常大的時候，史瓦西線元中的00分量可分解為平直度規(guī)和平直時空下的微擾，則此微擾必須要與前面提到的h的00分量對應起來，也就是

而點粒子的引力勢能φ為

因此常數(shù)α為

由此我們得到了著名的史瓦西度規(guī)

GPS與赤道鐘走時率比較

廣義相對論并非一個遙不可及的神秘理論，而是與我們的生活是息息相關的。GPS的使用就離不開廣義相對論的修正，而GPS和站在地球表面的我們都在地球外面，因此只需考慮地球外部，近似視為真空球?qū)ΨQ時空，即史瓦西度規(guī)。

我們首先考慮赤道上的觀測者與太空中的觀測者的走時率問題。要比較兩個鐘的所走過的時間就是計算世界線的線長，即原時，這個時間是在當?shù)氐挠^測者手握的鐘表真實看到的時間，最后對表的計算時間差的時候也是計算兩段世界線長度的差。在計算原時的時候，可認為是一個一個慣性觀者拿著鐘表跟著這一條世界線的切矢走，將他們的時間全部記錄下來并累加，就得到了任意一段世界線的長度。當?shù)厍蜣D(zhuǎn)動起來、GPS衛(wèi)星繞著地球運動時，赤道上的觀察者和衛(wèi)星上的觀察者有一個非零的相對速度，且衛(wèi)星的速度比地面參考系的速度快，這會導致在地面上的觀測者看到的衛(wèi)星的鐘所走過的時間比地面參考系的人手里握的鐘所走過的時間更短，也就是說衛(wèi)星上的的走時率比地面的走時率慢，這就是狹義相對論帶來的時間膨脹。雖然廣義相對論可以包含引力帶來的時間不同和運動速度帶來的時間不同，但我們?nèi)耘f區(qū)分開，讓讀者更加明白兩種效應。我們進一步考慮廣義相對論，空間的彎曲和狹義相對論的效應相反，GPS衛(wèi)星的走時率會比地面參考系的走勢率快。

我們主要計算引力帶來的效果?？紤]一個地面附近的觀測者以及一個距離地面很遠GPS衛(wèi)星上的觀測者，假設他們都是靜止的，也就是只考慮r與時間t兩個坐標的二維情況，可以證明兩個觀者處的坐標時是相同的。假設地面觀者坐標r1，在t1時刻開始計時并向太空觀者發(fā)送信號，太空觀者坐標r2，接收到信號的時刻為t2；地面觀者t1'時刻結(jié)束計時，發(fā)送信號，太空觀者t2'時刻接收到信號同樣結(jié)束計時，即有

做如下證明：光信號走的是類光測地線，也就是原時為零，則借助于史瓦西度規(guī)，并讓光只沿著r方向運動，可得到

也就是坐標時的間隔為

由此得到要證的等式

此坐標時間并不是當?shù)赜^測者手握的鐘真正走的時間，而是原時τ才是。在廣義相對論看起來，靜止的兩個觀測者實際上在4維時空中做加速運動，世界線表現(xiàn)出一個加速度，但是我們可讓無數(shù)個慣性參考系跟著這一條加速的世界線運動，使得其4維速度dx/dτ與世界線的切矢量相等。這樣把這些慣性觀者記錄下的時間全部加起來就能計算出這條世界線的原時，也即是線長，就能得到這個加速觀者所經(jīng)歷的時間。

對于有質(zhì)量粒子所走的測地線，我們?nèi)钥山柚吠呶鞫纫?guī)，寫出原時為

而靜止條件要求

給出原時和坐標時的關系

在光信號傳遞過程中，地面參考系和GPS衛(wèi)星所經(jīng)歷的坐標時間相同，這就給出了

其中E表示地球赤道，G表示GPS衛(wèi)星。由于赤道的高度和GPS的高度不會隨著原時變化而變化，此積分的結(jié)果為

我們最后計算GPS衛(wèi)星和赤道處的原時差，補上光速c

代入數(shù)據(jù)

得到每天的差別為

另一方面，狹義相對論效應的貢獻為

其中的相對速度為

故狹義相對論的效應為每天相差

考慮狹義相對論和廣義相對論效應的總和，赤道上的觀測者經(jīng)歷1天，GPS衛(wèi)星所經(jīng)歷的時間比赤道上的觀測者所經(jīng)歷的時間快

也就是說每一天的定位誤差能達到

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