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1、壓縮映射法是不動(dòng)點(diǎn)法中一種常用的方法。它的根據(jù)是壓縮映射原理:設(shè)X是一個(gè)完備的距離空間,f是從X到X的一個(gè)壓縮映射,那么f在X中必有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),而且從X的任何點(diǎn)x。出發(fā)作序列x1=f(x0),x2=f(x1),…,xn=f(xn-1),…這序列一定收斂到f的那個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。稱f是壓縮映射,如果它把X中每?jī)牲c(diǎn)的距離至少壓縮k倍,這里k是一個(gè)小于1的常數(shù),也就是說(shuō)X中每?jī)牲c(diǎn)x與y的像f(x)與f(y)的距離d(f(x),f(y))不超過(guò)x與y的距離d(x,y)的k倍,即d(f(x),f(y))≤kd(x,y)。
2、壓縮映射原理是巴拿赫(S.Banach)在1922年給出的,這種思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。該法能夠提供許多種方程的解的存在性、唯一性及迭代解法,只要方程的解能轉(zhuǎn)化為某個(gè)壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)。這一方法已經(jīng)推廣到非擴(kuò)展映射、映射族、集值映射、概率度量空間等許多方面。
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