原標(biāo)題：粒子如何在彎曲時(shí)空中“走直線”？《張朝陽的物理課》解密測地線

如何理解廣義相對(duì)論中引力和時(shí)空彎曲的對(duì)應(yīng)？時(shí)空的彎曲如何影響粒子的運(yùn)動(dòng)？彎曲時(shí)空中有“直線”嗎？12月17日12時(shí)，《張朝陽的物理課》第一百九十一期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局兼首席執(zhí)行官、物理學(xué)博士張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，首先簡單介紹了廣義相對(duì)論的基本原理和框架，并回顧了張量與協(xié)變導(dǎo)數(shù)的定義。接著，張朝陽介紹了一個(gè)測試粒子如何在大質(zhì)量物體造成的彎曲時(shí)空中運(yùn)動(dòng)，推導(dǎo)了測地線方程，并論證了測地線即是測試粒子的軌跡。

廣義相對(duì)論的基本框架

狹義相對(duì)論告訴人們時(shí)間空間本是一體，廣義相對(duì)論則更深刻地重塑了我們的世界觀。自重新復(fù)習(xí)和講解了狹義相對(duì)論的時(shí)空觀后，張朝陽開始“向廣義相對(duì)論這座高山進(jìn)軍”。他感嘆道，天才如愛因斯坦總能在一些看似簡單的“巧合”上洞察本質(zhì)。譬如“弱等效原理”，回憶牛頓第二定律，力改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力掣肘于物理本身的慣性，而慣性用物體的質(zhì)量來衡量。當(dāng)利用這一定律考察拉力、摩擦力、電磁力時(shí)，一切都合理自然。然而，當(dāng)代入同樣是牛頓給出的引力公式時(shí)，我們立刻會(huì)發(fā)現(xiàn)，引力改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力，似乎不再受物體本身慣性的影響。

這是由于，決定引力作用大小的“荷”恰好也是質(zhì)量，將它和牛頓第二定律放在一起，質(zhì)量恰好能從等號(hào)兩邊約去。這一事實(shí)在現(xiàn)在被命名為“弱等效原理”，它啟發(fā)了愛因斯坦開始思考：為何引力的作用會(huì)如此普適，甚至不區(qū)分粒子？消去力的“荷”后，加速度究竟是怎樣產(chǎn)生的？愛因斯坦的答案是：引力不是一種“力”，而是時(shí)空的彎曲，物體的加速度其實(shí)是幾何效應(yīng)。既然所有物體都得存在于時(shí)空上，那么也不難理解為何引力如此普適。

張朝陽介紹，這一認(rèn)知促使愛因斯坦提出了廣義相對(duì)論，廣義相對(duì)論的基本思想即是大質(zhì)量物體會(huì)造成時(shí)空的彎曲，從而影響了物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。他自稱，廣義相對(duì)論在物理概念和數(shù)學(xué)形式上都相當(dāng)有挑戰(zhàn)，自己學(xué)習(xí)廣義相對(duì)論就像登雪山一樣。和登雪山要一段一段走過好幾個(gè)營地一樣，學(xué)習(xí)廣義相對(duì)論也應(yīng)該有若干個(gè)節(jié)點(diǎn)，首先是了解怎么描述一個(gè)彎曲的時(shí)空。這一步必要用到我們稱之為張量的數(shù)學(xué)工具，具體的概念和定義已經(jīng)在前兩節(jié)直播課上介紹過。其中最重要的是被稱為度規(guī)的二階張量

被認(rèn)為是刻畫了時(shí)空性質(zhì)的物理量。考察時(shí)空的彎曲，必然要涉及考察物理量的變化，所以還要涉及對(duì)張量的導(dǎo)數(shù)。為了讓求導(dǎo)之后的結(jié)果同樣構(gòu)成張量，需要引入對(duì)普通偏導(dǎo)數(shù)的修正，從而構(gòu)成協(xié)變導(dǎo)數(shù)（covariant derivative）

修正項(xiàng)由一個(gè)稱之為克氏符的量決定，通過約定相容性條件

和無撓條件

可以推出克氏符完全由度規(guī)決定

由克氏符可以進(jìn)一步構(gòu)造出描述彎曲程度的幾何量——曲率（curvature），這將是之后要著重介紹的內(nèi)容。

張朝陽提醒，在討論對(duì)彎曲的描述時(shí)，隱式地假設(shè)了存在一個(gè)給定地度規(guī) g，再基于它去構(gòu)造各種幾何量。所以，理解了如何描述時(shí)空彎曲后，下一步要分析如何確定一個(gè)恰當(dāng)?shù)囟纫?guī)。事實(shí)上，確定度規(guī)形式的是愛因斯坦提出的廣義相對(duì)論場方程。方程中，等號(hào)的左側(cè)是幾何的曲率，等號(hào)的右側(cè)是描述引力源——比如一個(gè)大質(zhì)量天體——性質(zhì)的二階張量，也稱為能動(dòng)張量。給定引力源，可以從場方程中反解出度規(guī)，再具體定下克氏符等幾何量。

在這兩個(gè)“營地”之間，其實(shí)還有一個(gè)重要的節(jié)點(diǎn)，即要問：在大質(zhì)量物體的影響下，一個(gè)測試粒子是如何運(yùn)動(dòng)的？既然，引力不是一種通常意義上的“力”，而是時(shí)空的彎曲。那么當(dāng)測試粒子僅受引力作用時(shí)，以彎曲時(shí)空上的觀點(diǎn)，它其實(shí)是不受力的。牛頓第一定律提出，不受力的物體保持勻速直線運(yùn)動(dòng)。自然地可以期望，能不能將平直時(shí)空中的直線的概念，類比推廣到在彎曲時(shí)空中。張朝陽介紹，這一類比即是彎曲時(shí)空中的“測地線”（geodesic）。平直時(shí)空中，不受力物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，而在彎曲時(shí)空中，不受力物體則將沿著測地線運(yùn)動(dòng)。

測地線是彎曲時(shí)空上的“直線”

在球面上——比如地球上——的測地線就是一個(gè)大圓。走測地線的好處在于，連接兩點(diǎn)之間的各種路徑中，測地線的長度取到極值（極小或者極大），正如直線之于平直空間。張朝陽以從北京飛往紐約的航班為例，飛機(jī)的飛行路線會(huì)選擇走過北極上空，經(jīng)過安卡拉其、阿拉斯加……這條路徑即是大圓的一部分，是兩個(gè)城市之間的最短路徑。另一方面，在繪制世界地圖實(shí)，需要把整個(gè)球面展開到平面上，此時(shí)，經(jīng)度的大圓，作為測地線，甚至比例尺看起來會(huì)扭曲的非常奇怪，但其實(shí)這正是球面實(shí)內(nèi)稟彎曲這一特性的體現(xiàn)。

如何在彎曲時(shí)空上找出某條測地線，并確定它的表達(dá)呢。為了解決這一問題，首先要問一個(gè)矢量如何在沿線平移途中變化。矢量的各分量一般以逆變形式給出，所以第一步要推導(dǎo)的是逆變張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。注意到協(xié)變張量和逆變張量之間有通過度規(guī)決定的對(duì)應(yīng)關(guān)系

將它代入到對(duì)協(xié)變張量求協(xié)變導(dǎo)數(shù)的定義（1）式中，再利用相容性條件（2）式，不難推出

求導(dǎo)的結(jié)果是一個(gè)二階張量，它給出的是矢量的四個(gè)分量在四個(gè)不同方向上的十六個(gè)斜率。如果給定特定的小平移

矢量的整體變化可以寫為

這一式子可以類比于平直時(shí)空中的向量平移，同樣平移出一段Δr的舉例后，一個(gè)三維矢量，比如某個(gè)力 F 的各分離變化是

在彎曲時(shí)空中，這一計(jì)算也是類似成立的。

為了衡量變化率，一般要求這一小平移的長度為單位長度，所以要除上任意小平移的長度，它即由線元給出

和狹義相對(duì)論中所討論的一致，三維空間中的線元是距離，四維時(shí)空中的線元是時(shí)空間距，同也是運(yùn)動(dòng)的粒子的原時(shí)。于是，除以線元長度后，矢量沿某個(gè)方向平移的帶來的變化是

其中第一項(xiàng)變成了普通的，可以看成是對(duì)原時(shí)的求導(dǎo)。而第二項(xiàng)修正中，

可以認(rèn)為是一個(gè)速度項(xiàng)，或者用幾何的語言，是時(shí)空中某條路徑或者說軌跡的切矢量。

上面的討論中，所取的矢量 U^m 是任意的，不妨將其取到和上述所提的路徑的切矢量一致，此時(shí)有

張朝陽解釋，它對(duì)應(yīng)的是某一路徑或者軌跡的切矢量，沿著軌跡做平行移動(dòng)（parallel transport）時(shí)的變化率。在平直時(shí)空中，一條直線上各點(diǎn)的切矢量自然是不變的。將其推廣，彎曲時(shí)空的“直線”應(yīng)當(dāng)要滿足同樣的要求。所以，一條測地線應(yīng)當(dāng)滿足上述方程等于 0，展開來寫，即

再利用切矢量的定義（3），可以得到二階方程

積分結(jié)果就是一條“彎曲時(shí)空的直線”，它即是引力作用下測試粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。

張朝陽提醒，仔細(xì)觀察測地線方程，注意到 ds 可以被解釋為粒子原時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)它和牛頓第二定律有非常類似的形式。等號(hào)右邊可以被解釋為加速度加速度，它與測試粒子本身的質(zhì)量無關(guān)，只決定于由克氏符描述的時(shí)空彎曲的形式。這一結(jié)果符合課程開始時(shí)的愛因斯坦對(duì)弱等效原理的思考結(jié)論。這是一種全新的觀點(diǎn)來看待萬有引力的作用，強(qiáng)調(diào)了“引力本質(zhì)是空間彎曲”這一結(jié)論。

據(jù)了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時(shí)在搜狐視頻直播，網(wǎng)友可以在搜狐視頻APP“關(guān)注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關(guān)注“張朝陽的物理課”賬號(hào)，查看課程中的“知識(shí)點(diǎn)”短視頻；此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號(hào)上，閱覽每期物理課程的詳細(xì)文章。