原標(biāo)題：氫原子的軌道磁矩從何而來？《張朝陽的物理課》解密氫原子磁矩起源

氫原子為何擁有內(nèi)稟磁矩？它的第三個(gè)量子數(shù)為何又被稱為磁量子數(shù)？量子力學(xué)的結(jié)果和經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果之間有對(duì)應(yīng)的關(guān)系嗎？

對(duì)概率流和氫原子的回顧

現(xiàn)代物理學(xué)美麗而奇特，有時(shí)又燒腦而不可捉摸。張朝陽希望，在他的物理課上，能夠幫助聽眾從不同的角度、不同的維度去不斷認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)物理，以求深刻而全面地理解物理學(xué)的內(nèi)涵。在物理課上，我們可以從偏微分方程的角度，從擴(kuò)散方程走到復(fù)系數(shù)的薛定諤方程；可以從量子力學(xué)的定態(tài)能級(jí)問題，走到對(duì)波包含時(shí)演化的討論。

而在最近，張朝陽聚焦于量子力學(xué)的概率詮釋，從概率密度和概率流的的角度，深入探討這個(gè)微觀世界中最神秘也最引人注目的概念。

回顧物理學(xué)史，德布羅意和薛定諤建立了波動(dòng)力學(xué)形式的量子力學(xué)，指出微觀粒子應(yīng)該用一個(gè)波函數(shù)ψ(t,x)描述。而這種數(shù)學(xué)形式的物理解釋則要?dú)w功于玻恩。玻恩在上世紀(jì)20年代提出了量子力學(xué)的概率詮釋，認(rèn)為波函數(shù)的模方刻畫了我們?cè)谀硶r(shí)某地找到粒子的概率密度

同時(shí)，概率密度也是在“流動(dòng)”的。為了描述這種“流動(dòng)”，上一節(jié)課中張朝陽引入了概率流（Probability flux）的概念，對(duì)一個(gè)三維系統(tǒng)

利用概率流，可以驗(yàn)證到，粒子在階梯勢(shì)場(chǎng)中的散射同樣滿足粒子數(shù)守恒或者說概率守恒。

歷史上，量子力學(xué)最成功的應(yīng)用是對(duì)氫原子能級(jí)的計(jì)算。在前面的物理課上，張朝陽曾經(jīng)詳細(xì)地討論過這個(gè)問題。在具體計(jì)算中，可以將質(zhì)子與電子的二體問題等效為一個(gè)具有約化質(zhì)量

的粒子，在庫(kù)倫勢(shì)場(chǎng)

中運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而求解哈密頓量

本征值以及對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)。前面的課程中，張朝陽求到，氫原子的本征函數(shù)是

其中A是歸一化系數(shù)，P是勒讓德函數(shù)。這個(gè)本征函數(shù)是歸一的，而且由于我們?cè)谟?jì)算過程中利用了分離變量法，一般要求角度部分和徑向部分都是歸一的。也即是積分

以及

在約化后，氫原子系統(tǒng)有三個(gè)自由度，所以需要構(gòu)成完備集的三個(gè)取值只能為整數(shù)的量子數(shù)來標(biāo)記。它們是主量子數(shù)n，角量子數(shù)l和磁量子數(shù)m。其中角量子數(shù)可以取從0到n - 1之間的任意整數(shù)，而磁量子數(shù)的取值被限制在-m到m之間。比如典型的取值如下

氫原子軌道磁矩的計(jì)算

注意到，在氫原子的本征函數(shù)中，除了一個(gè)復(fù)相位外，其余都是實(shí)函數(shù)。延續(xù)上一節(jié)課中的用過記號(hào)，我們將實(shí)數(shù)部分統(tǒng)一記為

張朝陽已經(jīng)計(jì)算過，這樣一個(gè)態(tài)對(duì)應(yīng)的概率流密度為

在電磁學(xué)中，一個(gè)電流為I電流環(huán)的磁矩是一個(gè)方向?yàn)榉ㄏ?，?qiáng)度

的矢量。這里S是電流所圍面積（圖中陰影部分）的大小。

回到氫原子，如圖所示，在固定球坐標(biāo)(r, θ)處的電流分布可以視為一個(gè)微小的電流環(huán)。

它對(duì)應(yīng)的電流強(qiáng)度可以理解為通過該點(diǎn)附近的一個(gè)小面元的電流通量，即

在極坐標(biāo)下，一個(gè)小面元的面積可以看成該點(diǎn)處一段小弧長(zhǎng)和一個(gè)小徑向位移的乘積，法方向自然取?方向

于是有

這個(gè)環(huán)的半徑是球半徑的投影 r sinθ，于是它所產(chǎn)生的，在z軸方向上的磁矩大小為

而整個(gè)氫原子在z方向上的磁矩，可以認(rèn)為是一連串的小環(huán)形電流所誘導(dǎo)的磁矩的疊加。在這里，疊加等價(jià)于磁矩微元對(duì)r和θ做積分

注意到電流密度分布與?無關(guān)，利用

我們可以在上面的計(jì)算中補(bǔ)全一個(gè)對(duì)輻角的積分，即

前面回顧氫原子的時(shí)候已經(jīng)知道，這兩個(gè)積分結(jié)果都是單位1，于是

在未來的課程中，我們還將會(huì)看到自旋產(chǎn)生的磁矩有相似的計(jì)算公式

其中的差別僅在一個(gè)因子g。對(duì)于軌道磁矩，它取值為1；對(duì)于自旋磁矩，有g(shù) = 2。

與經(jīng)典電子軌道模型的對(duì)應(yīng)

上一節(jié)中，通過對(duì)概率流的討論給出了氫原子軌道磁矩的起源。事實(shí)上，上面的計(jì)算和討論是一個(gè)半經(jīng)典的討論。所謂“半經(jīng)典”，在于對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的處理是基于量子力學(xué)的，但是對(duì)磁矩的計(jì)算依照的仍然是經(jīng)典的電磁學(xué)方法。

作為對(duì)照，張朝陽希望再?gòu)募兘?jīng)典的角度驗(yàn)證磁矩的計(jì)算公式。我們知道，歷史上對(duì)氫原子結(jié)構(gòu)的認(rèn)知有一個(gè)簡(jiǎn)單的玻爾模型。它假設(shè)電子會(huì)在給定的圓軌道上不斷繞轉(zhuǎn)，通過一定的計(jì)算，可以得到相應(yīng)的軌道半徑。

這個(gè)半徑被稱為玻爾半徑，在量子力學(xué)建立后被成功地嚴(yán)格證明。這說明一來，經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果與量子力學(xué)的結(jié)果之間有天然的對(duì)應(yīng)關(guān)系，二來良好的模型應(yīng)該能給出自洽的好結(jié)果。

為了更好地看到這種經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，取玻爾模型，也就是一個(gè)電荷圍繞著原子核運(yùn)動(dòng)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)同樣可以看成一個(gè)環(huán)流。注意這里與上面計(jì)算的不同在于，基于量子力學(xué)計(jì)算需要考慮無數(shù)小環(huán)流的疊加，而經(jīng)典的軌道模型只有單個(gè)環(huán)流。假設(shè)總電荷均勻地分布在環(huán)上，此時(shí)環(huán)流上電荷的線密度為

對(duì)應(yīng)電流

此時(shí)計(jì)算磁矩

在分子分母同時(shí)引入電子的約化質(zhì)量，有

可以得到同樣形式的表達(dá)式。

（張朝陽從玻爾模型推導(dǎo)軌道磁矩公式）

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本節(jié)課相關(guān)視頻如下：

氫原子的概率流、電流密度與磁矩

外磁場(chǎng)對(duì)氫原子的作用

氫原子的磁矩計(jì)算