原標(biāo)題：洛倫茲變換可以看成某種時(shí)空轉(zhuǎn)動(dòng)？《張朝陽(yáng)的物理課》回顧狹義相對(duì)論

動(dòng)鐘變慢動(dòng)尺變短，這些都可以通過(guò)洛倫茲變換推導(dǎo)出來(lái)。但洛倫茲變換有什么更深刻的內(nèi)涵嗎？為什么物理學(xué)家說(shuō)它是時(shí)空的轉(zhuǎn)動(dòng)？11月12日12時(shí)，《張朝陽(yáng)的物理課》第一百八十六期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局兼首席執(zhí)行官、物理學(xué)博士張朝陽(yáng)坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，先回顧了狹義相對(duì)論中的經(jīng)典效應(yīng)，再?gòu)臅r(shí)空間隔不變量出發(fā)，說(shuō)明時(shí)間和空間互相耦合，但可以用類似歐式空間的轉(zhuǎn)動(dòng)的方式重新分解。

回顧洛倫茲變換，長(zhǎng)度收縮和時(shí)間膨脹

假設(shè)有兩個(gè)參考系S和S’，S’相對(duì)S有一個(gè)向右的移動(dòng)速度v，在零時(shí)刻，兩參考系的坐標(biāo)原點(diǎn)重合，坐標(biāo)軸互相平行。

在只考慮一個(gè)空間維度x和時(shí)間t的情況下，兩坐標(biāo)系之間的洛倫茲變換是

其中

如果要考慮隨著S’系一起運(yùn)動(dòng)的物體的時(shí)間流速，就要利用物體在S’系中的坐標(biāo)x’不變的性質(zhì)，寫出S’系中的時(shí)間t’和坐標(biāo)x’變換到S系中時(shí)間t的關(guān)系

這是洛倫茲變換的逆變換。在這里，S'系中的坐標(biāo)x'是一個(gè)固定值，所以在考慮AB兩個(gè)事件時(shí)，x_A'=x_B'，那么在對(duì)時(shí)間作差時(shí)這一項(xiàng)就會(huì)互相減掉

因?yàn)棣?gt;1，所以在S系測(cè)到的時(shí)間比在S’系測(cè)到的時(shí)間更長(zhǎng)，這就是運(yùn)動(dòng)物體的時(shí)間膨脹。

如果要考慮隨S’系一起運(yùn)動(dòng)的物體的長(zhǎng)度變化，就要抓住長(zhǎng)度的定義。當(dāng)人們?cè)谡f(shuō)長(zhǎng)度的時(shí)候，其實(shí)是在說(shuō)一個(gè)物體兩端的坐標(biāo)在同一時(shí)刻的差，但“同一時(shí)刻”對(duì)于不同的參考系而言是不同的，因此，在考慮物體在S系的長(zhǎng)度時(shí)，就要限定是在S系同一時(shí)刻下，對(duì)物體兩端的坐標(biāo)進(jìn)行測(cè)量。

以一根原長(zhǎng)為l的尺子為例，當(dāng)它隨S’系一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，尺子的端點(diǎn)①和端點(diǎn)②在S’系中有固定的坐標(biāo)x1'=0，x2'=l，所以它在S’系的長(zhǎng)度就是l。但在S系中，尺子的兩個(gè)端點(diǎn)會(huì)隨時(shí)間推移出現(xiàn)在不同的坐標(biāo)x1和x2上，所以在S系考慮尺子的長(zhǎng)度時(shí)，一定是選取在S系看來(lái)相同的時(shí)刻，對(duì)端點(diǎn)①出現(xiàn)在x1和端點(diǎn)②出現(xiàn)在x2兩個(gè)事件做觀測(cè)。換句話說(shuō)，這兩個(gè)事件在S系的視角下同時(shí)發(fā)生，t1=t2。從S系到S‘系的洛倫茲變換是

對(duì)于S’系而言，這兩個(gè)事件其實(shí)是不同時(shí)的，但這沒有關(guān)系，因?yàn)閷?duì)于在S’系中靜止的端點(diǎn)①和端點(diǎn)②恒有x1'=0，x2'=l。對(duì)洛倫茲變換的兩式做差得到

這說(shuō)明在相對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的S系看來(lái)，它在運(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度L_S比原長(zhǎng)l更短，這就是運(yùn)動(dòng)物體的長(zhǎng)度收縮。

時(shí)間膨脹和長(zhǎng)度收縮對(duì)解釋大氣μ子問題是至關(guān)重要的。大氣μ子是由宇宙射線撞擊到地球大氣高層的氣體分子產(chǎn)生的，這種撞擊大約發(fā)生在1萬(wàn)米處的高空。μ子的半衰期是2.2微秒，速度可以達(dá)到0.998c。如果按常規(guī)方法來(lái)算，它只能穿越六百多米的大氣，無(wú)法被地面觀測(cè)站接收到，但實(shí)際情況是人們可以在地面接收到大氣μ子。

這個(gè)問題考慮相對(duì)論效應(yīng)就可以解釋，以地球參考系來(lái)看，μ子的半衰期會(huì)膨脹16倍，這樣就有足夠的時(shí)間穿過(guò)大氣來(lái)到地面。以μ子參考系來(lái)看，地球大氣的厚度會(huì)收縮為原來(lái)的1/16，這樣也可以在2.2微秒內(nèi)穿過(guò)。兩種參考系的視角是互相吻合的。

通過(guò)歐幾里得空間的旋轉(zhuǎn)不變量 類比閔氏時(shí)空的時(shí)空間隔不變量

張朝陽(yáng)講解道，洛倫茲變換可以視為閔氏時(shí)空的偽轉(zhuǎn)動(dòng)。如何理解這種偽轉(zhuǎn)動(dòng)呢？不妨先回顧一下在歐幾里得空間中旋轉(zhuǎn)的情景，

在二維空間中有一個(gè)矢量r，它在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是(x,y)，與x軸的夾角為θ，

現(xiàn)在將坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度?，經(jīng)過(guò)這個(gè)旋轉(zhuǎn)變換得到矢量r的另一個(gè)坐標(biāo)

或者寫成

轉(zhuǎn)動(dòng)之后矢量的長(zhǎng)度并不發(fā)生改變，依然有

現(xiàn)在再來(lái)考慮洛倫茲變換，它是光速不變結(jié)果下的產(chǎn)物，所以在把時(shí)間和空間組合成時(shí)空坐標(biāo)時(shí)，自然會(huì)想到要把時(shí)間坐標(biāo)乘以一個(gè)光速c以統(tǒng)一量綱，也就是說(shuō)，四維時(shí)空坐標(biāo)應(yīng)該具有(ct,x,y,z)的形式。那么，這個(gè)坐標(biāo)在洛倫茲變換下有沒有類似于在空間旋轉(zhuǎn)下不變的“長(zhǎng)度”呢？答案是有的，不同參考系下光速不變，S系下的x=ct在S'系下會(huì)變成x'=ct'，這就啟發(fā)人們構(gòu)造這樣一個(gè)不變量，稱為時(shí)空間隔：

構(gòu)造出這樣一個(gè)時(shí)空間隔后，該如何說(shuō)明它在任何慣性參考系下都是不變量呢？可以想象這樣一個(gè)情景，在二維空間的原點(diǎn)處有一個(gè)光源向上發(fā)射了一束光，光在靜止系S0中經(jīng)過(guò)時(shí)間τ來(lái)到y(tǒng)軸上的某點(diǎn)，該點(diǎn)在靜止系的二維空間坐標(biāo)為(0,cτ)。

在S0系外另有一個(gè)參考系S_u，它相對(duì)靜止系S0以u(píng)的速度向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，光在這個(gè)參考系中花費(fèi)了時(shí)間t_u來(lái)到了空間坐標(biāo)(x_u,cτ)。從光速不變可以知道，光所走的路徑長(zhǎng)度是ct_u，也就是下圖中直角三角形的斜邊長(zhǎng)。利用直角三角形的勾股定理，可以得到

對(duì)于相對(duì)靜止系S0以v的速度向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的參考系S_v，也有相同的結(jié)果

這說(shuō)明三個(gè)參考系下的時(shí)空間隔是一樣的，它們都具有形式

這個(gè)形式只在沒有被引力彎曲的平直時(shí)空中成立，它最早由俄裔德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基提出，所以平直時(shí)空也被稱為閔氏時(shí)空。

導(dǎo)出閔氏時(shí)空的偽轉(zhuǎn)動(dòng)，驗(yàn)證時(shí)空間隔的不

上一節(jié)，張朝陽(yáng)將時(shí)空間隔寫成了空間坐標(biāo)平方減去時(shí)間平方的二次型，如果用矩陣的方式來(lái)寫，可以把時(shí)間前面的負(fù)號(hào)提出來(lái)

時(shí)空坐標(biāo)中間夾著的矩陣稱為度規(guī)。一開始，愛因斯坦對(duì)這種形式并不重視，認(rèn)為只是換了一種數(shù)學(xué)書寫方式，但后來(lái)在發(fā)展廣義相對(duì)論時(shí)，他逐漸意識(shí)到度規(guī)是描述時(shí)空彎曲的有力的工具，之后的課程將對(duì)此做進(jìn)一步介紹。回到時(shí)空間隔，s的平方是一個(gè)負(fù)數(shù)，這說(shuō)明s是一個(gè)虛數(shù)，引入虛數(shù)單位i，記s的虛部為a，有

這個(gè)形式的時(shí)空間隔長(zhǎng)得就很像歐幾里得空間的矢量長(zhǎng)度了，歐式時(shí)空有矢量方向角，那么閔氏時(shí)空有沒有類似角度的參量呢？可以先做一個(gè)嘗試，把時(shí)間和空間視為時(shí)空間隔在某種角度下的投影，寫為

第一個(gè)式子兩邊都是虛數(shù)，但第二個(gè)式子左邊是實(shí)數(shù)，右邊是虛數(shù)，這樣是沒有意義的。好在數(shù)學(xué)上有雙曲函數(shù)

所以不妨將角度變成一個(gè)虛數(shù)參量，θ→iθ，將三角函數(shù)換成雙曲函數(shù)

這里的θ相當(dāng)于假想的轉(zhuǎn)動(dòng)角的虛部。寫成這個(gè)形式之后，方程兩邊都是實(shí)數(shù)，說(shuō)明參量θ是可以將時(shí)空間隔用雙曲函數(shù)投影成時(shí)間分量和空間分量的，但它不是歐式空間中的三角函數(shù)，因此只能說(shuō)在形式上可以看成某種偽轉(zhuǎn)動(dòng)。如果在此基礎(chǔ)上把時(shí)空坐標(biāo)(ct,x)再偽轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)參量?，變成另一個(gè)時(shí)空坐標(biāo)(ct',x')。根據(jù)雙曲函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，新的時(shí)空坐標(biāo)是

新舊坐標(biāo)的變換可以用矩陣形式寫成

將其中的變換矩陣記為R，時(shí)空坐標(biāo)記為X，可以簡(jiǎn)寫為

之前的推導(dǎo)都建立在時(shí)空間隔是不變量的基礎(chǔ)上，反過(guò)來(lái)，也可以驗(yàn)證偽轉(zhuǎn)動(dòng)下時(shí)空間隔是保持不變的。原始的時(shí)空間隔是

經(jīng)過(guò)偽轉(zhuǎn)動(dòng)后

其中

所以，偽轉(zhuǎn)動(dòng)后時(shí)空間隔依然是

由此驗(yàn)證了時(shí)空間隔在偽轉(zhuǎn)動(dòng)變換前后保持不變。

目前看來(lái)，偽轉(zhuǎn)動(dòng)是一種將時(shí)空間隔分解成時(shí)間分量和空間分量的形式參量。那么偽轉(zhuǎn)動(dòng)有什么更具體的物理含義嗎？不妨設(shè)想有一個(gè)固定在S'系原點(diǎn)處隨S'系一起運(yùn)動(dòng)的物體，它在S'系的坐標(biāo)恒為0，

所以

從這個(gè)式子可以知道，偽轉(zhuǎn)動(dòng)的參量?和坐標(biāo)系之間的相對(duì)速度有關(guān)，因此?也被稱為快度(rapidity)。還可以繼續(xù)算出

代入時(shí)空坐標(biāo)變換公式，得到

所以，偽轉(zhuǎn)動(dòng)正是洛倫茲變換！

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