原標題：能量不足的粒子還能滲進勢壘？《張朝陽的物理課》解密粒子在階梯勢場中的運動

能量不夠了，粒子還能越過階梯勢壘嗎？被反彈的粒子為何不在勢壘表面直接起跑？如何理解反射中出現(xiàn)的相位偏移？

粒子能量小于階梯勢壘高度時的全反射過程

在前兩次課上，張朝陽還引入了概率流的概念。利用概率流，張朝陽研究了在一個階梯勢場中的運動。

“階梯勢場”是指在粒子傳播過程中會遇到一個有限高的臺階（如圖所示），當粒子的能量E大于勢壘的高度V時，粒子可以“部分地爬上階梯”繼續(xù)傳播，同時也有概率反射回去。在完成了計算后，張朝陽自然地想到一個問題：如果在勢場中，粒子的能量E < V時，粒子又將會怎么運動呢？

為了回答這個問題，我們首先要回顧在階梯勢場中解薛定諤方程的過程。從圖像很容易看出來，階梯勢場把整個空間劃分成了兩個片區(qū)。如果仍然暫且假定E > V，在x < 0的片區(qū)解薛定諤方程，我們得到波函數(shù)

其中

注意在這里為了計算簡便，我們用定態(tài)來建模運動的粒子——而不是一個具體的波包。波函數(shù)中相加和的兩項具有符號相反的波數(shù)，可以認為他們分別代表了向右傳播的入射部分，以及向左傳播的出射部分。而在x > 0的片區(qū)，我們?nèi)〔ê瘮?shù)

其中

在這里，考慮到我們的研究對象是一個從左側(cè)入射的粒子，在右半部分，基于物理的考慮，波函數(shù)不應(yīng)該存在向左傳播的部分。利用波函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)該在階梯x = 0處保持連續(xù)這一邊界條件，可以列出方程

可以解得

利用這個結(jié)果，即可以驗證粒子傳播過程中的概率流守恒。具體的計算細節(jié)我們已經(jīng)在之前的課程中充分討論過，在這里不再贅述。

張朝陽注意到，在上面的計算過程中我們并沒有特別地依賴于所假設(shè)的能量條件E > V。換句話說，如果此時我們將條件換為E < V，具體的解法、最后得到的波函數(shù)和相應(yīng)的結(jié)果會保持同樣的形式。而細節(jié)上，注意到由于平方根的存在，能量條件的改變會使越過階梯后波函數(shù)的“波數(shù)”變?yōu)樘摂?shù)

這里我們可以重新定義正實數(shù)

相應(yīng)地波函數(shù)的解改寫為

當α前面取正號時，波函數(shù)在無窮遠處會發(fā)散，是一支非物理的解。因此，我們知道在x > 0部分，波函數(shù)應(yīng)取為

可以看到，在臺階一邊，粒子的波函數(shù)不再是傳播的，而是衰減的。這是因為粒子的能量不夠，不足以讓它“躍上臺階”繼續(xù)傳播到右方無窮遠處。此時，根據(jù)概率流守恒，應(yīng)該期望這個粒子會被階梯勢壘完全反射。

為了驗證這一點，我們要具體地計算波函數(shù)的振幅。通過上面的計算我們可以看到，改變能量條件等價于替換

為了給兩種情況作區(qū)分，我們重新記

將替換應(yīng)用到振幅的計算公式上，有

回想復(fù)數(shù)的基本知識，如圖所示，復(fù)數(shù)可以與復(fù)平面上的向量一一對應(yīng)，而向量又可以用模長和輻角標記。

將復(fù)數(shù)k - iα用模長和幅角重新表達，有

其中模長

而幅角滿足

于是

計算可得粒子的反射率為

即粒子確實被勢壘完全反射回去了。

計算出振幅之后，在x > 0區(qū)域的波函數(shù)為

處，這個寬度又稱為滲透寬度。這種滲透會伴隨波函數(shù)一個額外的相位偏移

波包在階梯勢壘中的駐留和延遲相位的物理意義

給定能量E，或者說對應(yīng)的動量k，在x < 0區(qū)域的定態(tài)解為

現(xiàn)在我們來考慮一個波包，它是一系列定態(tài)按照某種系數(shù)的疊加

這里注意不單頻率ω，相移θ同樣也是k的函數(shù)。為了簡化計算，我們利用前面討論群速度時用過的技巧，假設(shè)?是一個狹窄的函數(shù)，僅在

附近一個大小為Δk的區(qū)間上不為0。為了和前面的討論保持一致，我們還要求中心點對應(yīng)的能量

因為波包是狹窄的，積分僅在一個小區(qū)域上有意義，所以可以取

代入到波包的表達式中，先看入射的部分

我們曾經(jīng)用這個方法討論過群速度的定義，關(guān)鍵在于把下標帶0的部分提到積分外，然后將積分換元為對變量Δk的積分

對物質(zhì)波，他對應(yīng)了粒子的經(jīng)典運動速度。

現(xiàn)在再看反射部分，利用同樣的思路，可以計算到

在積分號外的部分是一個有相位移動的平面波。再看振幅部分，同樣我們?nèi)∑渖蠞M足關(guān)系

標記的一點。

利用輻角的定義

對兩邊求微分，可以得到

所以公式中

代入點的運動方程中，可以將其寫為

這里我們用到了復(fù)平面上的幾何關(guān)系。從運動方程中，我們能注意到它需要

的時間從階梯內(nèi)出來，重新回到x < 0部分，然后繼續(xù)向左方運動。如果定義

可以改寫

所以延遲時間

它意味著粒子的反射波確實在階梯內(nèi)部駐留了一段時間，形成物理意義上的反射波。這個駐留的時間差體現(xiàn)在波函數(shù)上，即在計算中得到的額外的相位偏移，所以我們又稱之為延遲相位。

（張朝陽推導(dǎo)反射波包的延遲時間）

據(jù)了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日中午12時在搜狐視頻直播，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關(guān)注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。

本節(jié)課相關(guān)視頻如下：

波包入射的情況

反射波包的延遲

入射波包的群速度