能量不夠了,粒子還能越過階梯勢壘嗎?被反彈的粒子為何不在勢壘表面直接起跑?如何理解反射中出現(xiàn)的相位偏移?
粒子能量小于階梯勢壘高度時的全反射過程
在前兩次課上,張朝陽還引入了概率流的概念。利用概率流,張朝陽研究了在一個階梯勢場中的運動。
“階梯勢場”是指在粒子傳播過程中會遇到一個有限高的臺階(如圖所示),當粒子的能量E大于勢壘的高度V時,粒子可以“部分地爬上階梯”繼續(xù)傳播,同時也有概率反射回去。在完成了計算后,張朝陽自然地想到一個問題:如果在勢場中,粒子的能量E < V時,粒子又將會怎么運動呢?
為了回答這個問題,我們首先要回顧在階梯勢場中解薛定諤方程的過程。從圖像很容易看出來,階梯勢場把整個空間劃分成了兩個片區(qū)。如果仍然暫且假定E > V,在x < 0的片區(qū)解薛定諤方程,我們得到波函數(shù)
其中
注意在這里為了計算簡便,我們用定態(tài)來建模運動的粒子——而不是一個具體的波包。波函數(shù)中相加和的兩項具有符號相反的波數(shù),可以認為他們分別代表了向右傳播的入射部分,以及向左傳播的出射部分。而在x > 0的片區(qū),我們?nèi)〔ê瘮?shù)
其中
在這里,考慮到我們的研究對象是一個從左側(cè)入射的粒子,在右半部分,基于物理的考慮,波函數(shù)不應(yīng)該存在向左傳播的部分。利用波函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)該在階梯x = 0處保持連續(xù)這一邊界條件,可以列出方程
可以解得
利用這個結(jié)果,即可以驗證粒子傳播過程中的概率流守恒。具體的計算細節(jié)我們已經(jīng)在之前的課程中充分討論過,在這里不再贅述。
張朝陽注意到,在上面的計算過程中我們并沒有特別地依賴于所假設(shè)的能量條件E > V。換句話說,如果此時我們將條件換為E < V,具體的解法、最后得到的波函數(shù)和相應(yīng)的結(jié)果會保持同樣的形式。而細節(jié)上,注意到由于平方根的存在,能量條件的改變會使越過階梯后波函數(shù)的“波數(shù)”變?yōu)樘摂?shù)
這里我們可以重新定義正實數(shù)
相應(yīng)地波函數(shù)的解改寫為
當α前面取正號時,波函數(shù)在無窮遠處會發(fā)散,是一支非物理的解。因此,我們知道在x > 0部分,波函數(shù)應(yīng)取為
可以看到,在臺階一邊,粒子的波函數(shù)不再是傳播的,而是衰減的。這是因為粒子的能量不夠,不足以讓它“躍上臺階”繼續(xù)傳播到右方無窮遠處。此時,根據(jù)概率流守恒,應(yīng)該期望這個粒子會被階梯勢壘完全反射。
為了驗證這一點,我們要具體地計算波函數(shù)的振幅。通過上面的計算我們可以看到,改變能量條件等價于替換
為了給兩種情況作區(qū)分,我們重新記
將替換應(yīng)用到振幅的計算公式上,有
回想復(fù)數(shù)的基本知識,如圖所示,復(fù)數(shù)可以與復(fù)平面上的向量一一對應(yīng),而向量又可以用模長和輻角標記。
將復(fù)數(shù)k - iα用模長和幅角重新表達,有
其中模長
而幅角滿足
于是
計算可得粒子的反射率為
即粒子確實被勢壘完全反射回去了。
計算出振幅之后,在x > 0區(qū)域的波函數(shù)為
處,這個寬度又稱為滲透寬度。這種滲透會伴隨波函數(shù)一個額外的相位偏移
波包在階梯勢壘中的駐留和延遲相位的物理意義
給定能量E,或者說對應(yīng)的動量k,在x < 0區(qū)域的定態(tài)解為
現(xiàn)在我們來考慮一個波包,它是一系列定態(tài)按照某種系數(shù)的疊加
這里注意不單頻率ω,相移θ同樣也是k的函數(shù)。為了簡化計算,我們利用前面討論群速度時用過的技巧,假設(shè)?是一個狹窄的函數(shù),僅在
附近一個大小為Δk的區(qū)間上不為0。為了和前面的討論保持一致,我們還要求中心點對應(yīng)的能量
因為波包是狹窄的,積分僅在一個小區(qū)域上有意義,所以可以取
代入到波包的表達式中,先看入射的部分
我們曾經(jīng)用這個方法討論過群速度的定義,關(guān)鍵在于把下標帶0的部分提到積分外,然后將積分換元為對變量Δk的積分
對物質(zhì)波,他對應(yīng)了粒子的經(jīng)典運動速度。
現(xiàn)在再看反射部分,利用同樣的思路,可以計算到
在積分號外的部分是一個有相位移動的平面波。再看振幅部分,同樣我們?nèi)∑渖蠞M足關(guān)系
標記的一點。
利用輻角的定義
對兩邊求微分,可以得到
所以公式中
代入點的運動方程中,可以將其寫為
這里我們用到了復(fù)平面上的幾何關(guān)系。從運動方程中,我們能注意到它需要
的時間從階梯內(nèi)出來,重新回到x < 0部分,然后繼續(xù)向左方運動。如果定義
可以改寫
所以延遲時間
它意味著粒子的反射波確實在階梯內(nèi)部駐留了一段時間,形成物理意義上的反射波。這個駐留的時間差體現(xiàn)在波函數(shù)上,即在計算中得到的額外的相位偏移,所以我們又稱之為延遲相位。
(張朝陽推導(dǎo)反射波包的延遲時間)
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本節(jié)課相關(guān)視頻如下:
波包入射的情況
反射波包的延遲
入射波包的群速度