素?cái)?shù)就是質(zhì)數(shù),有無(wú)限個(gè),是指在大于1的自然數(shù)中,除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)。素?cái)?shù)是大于1的自然數(shù),除了1和它自身外,不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù),否則稱(chēng)為合數(shù)。
質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個(gè)經(jīng)典的證明。它使用了證明常用的方法:反證法。具體證明如下:假設(shè)質(zhì)數(shù)只有有限的n個(gè),從小到大依次排列為p1,p2,……,pn,設(shè)N=p1×p2×……×pn,那么,N+1是素?cái)?shù)或者不是素?cái)?shù)。
如果N+1為素?cái)?shù),則N+1要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。
如果N+1為合數(shù),因?yàn)槿魏我粋€(gè)合數(shù)都可以分解為幾個(gè)素?cái)?shù)的積;而N和N+1的最大公約數(shù)是1,所以不可能被p1,p2,……,pn整除,所以該合數(shù)分解得到的素因數(shù)肯定不在假設(shè)的素?cái)?shù)集合中。因此無(wú)論該數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù),都意味著在假設(shè)的有限個(gè)素?cái)?shù)之外還存在著其他素?cái)?shù)。所以原先的假設(shè)不成立。也就是說(shuō),素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。
在一個(gè)大于1的數(shù)a和它的2倍之間(即區(qū)間(a, 2a]中)必存在至少一個(gè)素?cái)?shù)。
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