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余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍；或在$triangle ABC$中，$a$，$b$，$c$為$A$，$B$，$C$的對(duì)邊，有$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos A$，$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2cacos B$，$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos C$.

證法一：如圖，

$a^{2}=overrightarrow {BC}^{2}=left(overrightarrow {AC}-overrightarrow {AB}right)cdot left(overrightarrow {AC}-overrightarrow {AB}right)=overrightarrow {AC}^{2}-2overrightarrow {AC}cdot overrightarrow {AB}+overrightarrow {AB}^{2}$

$=overrightarrow {AC}^{2}-2|overrightarrow {AC}|cdot |overrightarrow {AB}|cos A+overrightarrow {AB}^{2}=b^{2}-2bccos A+c^{2}$

即$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos A$

同理可證$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2cacos B$，$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos C$；

證法二：已知$triangle ABC$中$A$，$B$，$C$所對(duì)邊分別為$a$，$b$，$c$，以$A$為原點(diǎn)，$AB$所在直線為$x$軸建立直角坐標(biāo)系，

則$Cleft(bcos A,bsin Aright)$，$Bleft(c,0right)$，

$therefore a^{2}=|BC|^{2}=left(bcos A-cright)^{2}+left(bsin Aright)^{2}=b^{2}cos ^{2}A-2bccos A+c^{2}+b^{2}sin ^{2}A=b^{2}+c^{2}-2bccos A$，

同理可證$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos B$，$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos C$.

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