想必現(xiàn)在有很多小伙伴對于在平面直角坐標系$xOy$中，函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱，它們與直線$x=t\left(t \gt 0\right)$分別相交于點$P$，$Q$.$(1)$如圖，函數(shù)$F_{1}$為$y=x+1$，當$t=2$時，$PQ$的長為______；$(2)$函數(shù)$F_{1}$為$y=\frac{3}{x}$，當$PQ=6$時，$t$的值為______；$(3)$函數(shù)$F_{1}$為$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$，①當$t=\frac{{\sqrt}}$時，求$\triangle OPQ$的面積；②若$c \gt 0$，函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$A\left(5,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，當$c\leqslant x\leqslant c+1$時，設函數(shù)$F_{1}$的最大值和函數(shù)$F_{2}$的最小值的差為$h$，求$h$關于$c$的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量$c$的取值范圍.","title_text":"在平面直角坐標系$xOy$中，函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱，它們與直線$x=t\left(t \gt 0\right)$分別相交于點$P$，$Q$.$(1)$如圖，函數(shù)$F_{1}$為$y=x+1$，當$t=2$時，$PQ$的長為______；$(2)$函數(shù)$F_{1}$為$y=\frac{3}{x}$，當$PQ=6$時，$t$的值為______；$(3)$函數(shù)$F_{1}$為$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$，①當$t=\frac{{\sqrt}}$時，求$\triangle OPQ$的面積；②若$c \gt 0$，函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$A\left(5,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，當$c\leqslant x\leqslant c+1$時，設函數(shù)$F_{1}$的最大值和函數(shù)$F_{2}$的最小值的差為$h$，求$h$關于$c$的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量$c$的取值范圍.方面的知識都比較想要了解，那么今天小好小編就為大家收集了一些關于在平面直角坐標系$xOy$中，函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱，它們與直線$x=t\left(t \gt 0\right)$分別相交于點$P$，$Q$.$(1)$如圖，函數(shù)$F_{1}$為$y=x+1$，當$t=2$時，$PQ$的長為______；$(2)$函數(shù)$F_{1}$為$y=\frac{3}{x}$，當$PQ=6$時，$t$的值為______；$(3)$函數(shù)$F_{1}$為$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$，①當$t=\frac{{\sqrt}}$時，求$\triangle OPQ$的面積；②若$c \gt 0$，函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$A\left(5,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，當$c\leqslant x\leqslant c+1$時，設函數(shù)$F_{1}$的最大值和函數(shù)$F_{2}$的最小值的差為$h$，求$h$關于$c$的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量$c$的取值范圍.","title_text":"在平面直角坐標系$xOy$中，函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱，它們與直線$x=t\left(t \gt 0\right)$分別相交于點$P$，$Q$.$(1)$如圖，函數(shù)$F_{1}$為$y=x+1$，當$t=2$時，$PQ$的長為______；$(2)$函數(shù)$F_{1}$為$y=\frac{3}{x}$，當$PQ=6$時，$t$的值為______；$(3)$函數(shù)$F_{1}$為$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$，①當$t=\frac{{\sqrt}}$時，求$\triangle OPQ$的面積；②若$c \gt 0$，函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$A\left(5,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，當$c\leqslant x\leqslant c+1$時，設函數(shù)$F_{1}$的最大值和函數(shù)$F_{2}$的最小值的差為$h$，求$h$關于$c$的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量$c$的取值范圍.方面的知識分享給大家，希望大家會喜歡哦。

$left(1right)because F_{1}$：$y=x+1$，$F_{1}$和$F_{2}$關于$y$軸對稱，$therefore F_{2}$：$y=-x+1$。

分別令$x=2$，則$2+1=3$，$-2+1=-1$。

$therefore Pleft(2,3right)$，$Qleft(2,-1right)$，$therefore PQ=3-left(-1right)=4$。

故答案為：$4$；$(2)because F_{1}$：$y=frac{3}{x}$，可得：$F_{2}$：$y=frac{-3}{x}$，$because x=t$。

可得：$P(t$，$frac{3}{t}$），$Q(t$。

$frac{-3}{t})$，$therefore PQ=frac{3}{t}-frac{-3}{t}=frac{6}{t}=6$，解得：$t=1$。

經(jīng)檢驗：$t=1$是原方程的解，故答案為：$1$；$(3)$①$because F_{1}$：$y=ax^{2}+bx+c$，$therefore F_{2}$：$y=ax^{2}-bx+c$。

$because t=frac{sqrt}$，分別代入$F_{1}$，$F_{2}$。

可得：$P(frac{sqrt}$，$frac{a}+sqrt+c$），$Q(frac{sqrt}$。

$frac{a}-sqrt+c)$，$therefore PQ=|frac{a}+sqrt+c-(frac{a}-sqrt+c)|=2sqrt$，$therefore S_{triangle OPQ}=frac{1}{2}×2sqrt×frac{sqrt}=1$；②$because $函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$Aleft(5,0right)$。

$Bleft(1,0right)$，而函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱，$therefore $函數(shù)$F_{1}$的圖象經(jīng)過$Aleft(5,0right)$和$left(-1,0right)$。

$therefore $設$F_{1}$：$y=aleft(x+1right)left(x-5right)=ax^{2}-4ax-5a$，則$F_{2}$：$y=ax^{2}+4ax-5a$，$therefore F_{1}$的圖象的對稱軸是直線$x=2$。

且$c=-5a$，$therefore a=-frac{c}{5}$，$because c gt 0$。

則$a lt 0$，$c+1 gt 1$，而$F_{2}$的圖象在$x gt 0$時。

$y$隨$x$的增大而減小，當$0 lt c lt 1$時，$F_{1}$的圖象$y$隨$x$的增大而增大。

$F_{2}$的圖象$y$隨$x$的增大而減小，$therefore $當$x=c+1$時，$y=ax^{2}-4ax-5a$的最大值為$aleft(c+1right)^{2}-4aleft(c+1right)-5a$。

$y=ax^{2}+4ax-5a$的最小值為$aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a$，則$h=aleft(c+1right)^{2}-4aleft(c+1right)-5a-[aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a]=-8ac-8a$，又$because a=-frac{c}{5}$。

$therefore h=frac{8}{5}{c}^{2}+frac{8}{5}c$；當$1leqslant cleqslant 2$時，$F_{1}$的最大值為$frac{4a×(-5a)-(-4a)^{2}}{4a}=-9a$，$F_{2}$的圖象$y$隨$x$的增大而減小。

$therefore F_{2}$的最小值為：$aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a$，則$h=-9a-[aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a]=-aleft(c+1right)^{2}-4aleft(c+1right)-4a=-ac^{2}-6ac-9a$，又$because a=-frac{c}{5}$。

$therefore h=frac{1}{5}{c}^{3}+frac{6}{5}{c}^{2}+frac{9}{5}c$，當$c gt 2$時，$F_{1}$的圖象$y$隨$x$的增大而減小。

$F_{2}$的圖象$y$隨$x$的增大而減小，$therefore $當$x=c$時，$y=ax^{2}-4ax-5a$的最大值為$ac^{2}-4ac-5a$。

當$x=c+1$時，$y=ax^{2}+4ax-5a$的最小值為$aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a$，則$h=ac^{2}-4ac-5a-[aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a]$。

又$because a=-frac{c}{5}$，$therefore h=2c^{2}+c$；綜上：$h$關于$x$的解析式為：$h=left{begin{array}{l}{frac{8}{5}{c}^{2}+frac{8}{5}c(0＜c＜1)}{frac{1}{5}{c}^{3}+frac{6}{5}{c}^{2}+frac{9}{5}c(1≤c≤2)}{2{c}^{2}+c(c＞2)}end{array}right.$.。

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