想必現(xiàn)在有很多小伙伴對于在平面直角坐標系$xOy$中,函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱,它們與直線$x=t\left(t \gt 0\right)$分別相交于點$P$,$Q$.$(1)$如圖,函數(shù)$F_{1}$為$y=x+1$,當$t=2$時,$PQ$的長為______;$(2)$函數(shù)$F_{1}$為$y=\frac{3}{x}$,當$PQ=6$時,$t$的值為______;$(3)$函數(shù)$F_{1}$為$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$,①當$t=\frac{{\sqrt}}$時,求$\triangle OPQ$的面積;②若$c \gt 0$,函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$A\left(5,0\right)$,$B\left(1,0\right)$,當$c\leqslant x\leqslant c+1$時,設函數(shù)$F_{1}$的最大值和函數(shù)$F_{2}$的最小值的差為$h$,求$h$關于$c$的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量$c$的取值范圍.","title_text":"在平面直角坐標系$xOy$中,函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱,它們與直線$x=t\left(t \gt 0\right)$分別相交于點$P$,$Q$.$(1)$如圖,函數(shù)$F_{1}$為$y=x+1$,當$t=2$時,$PQ$的長為______;$(2)$函數(shù)$F_{1}$為$y=\frac{3}{x}$,當$PQ=6$時,$t$的值為______;$(3)$函數(shù)$F_{1}$為$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$,①當$t=\frac{{\sqrt}}$時,求$\triangle OPQ$的面積;②若$c \gt 0$,函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$A\left(5,0\right)$,$B\left(1,0\right)$,當$c\leqslant x\leqslant c+1$時,設函數(shù)$F_{1}$的最大值和函數(shù)$F_{2}$的最小值的差為$h$,求$h$關于$c$的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量$c$的取值范圍.方面的知識都比較想要了解,那么今天小好小編就為大家收集了一些關于在平面直角坐標系$xOy$中,函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱,它們與直線$x=t\left(t \gt 0\right)$分別相交于點$P$,$Q$.$(1)$如圖,函數(shù)$F_{1}$為$y=x+1$,當$t=2$時,$PQ$的長為______;$(2)$函數(shù)$F_{1}$為$y=\frac{3}{x}$,當$PQ=6$時,$t$的值為______;$(3)$函數(shù)$F_{1}$為$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$,①當$t=\frac{{\sqrt}}$時,求$\triangle OPQ$的面積;②若$c \gt 0$,函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$A\left(5,0\right)$,$B\left(1,0\right)$,當$c\leqslant x\leqslant c+1$時,設函數(shù)$F_{1}$的最大值和函數(shù)$F_{2}$的最小值的差為$h$,求$h$關于$c$的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量$c$的取值范圍.","title_text":"在平面直角坐標系$xOy$中,函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱,它們與直線$x=t\left(t \gt 0\right)$分別相交于點$P$,$Q$.$(1)$如圖,函數(shù)$F_{1}$為$y=x+1$,當$t=2$時,$PQ$的長為______;$(2)$函數(shù)$F_{1}$為$y=\frac{3}{x}$,當$PQ=6$時,$t$的值為______;$(3)$函數(shù)$F_{1}$為$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$,①當$t=\frac{{\sqrt}}$時,求$\triangle OPQ$的面積;②若$c \gt 0$,函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$A\left(5,0\right)$,$B\left(1,0\right)$,當$c\leqslant x\leqslant c+1$時,設函數(shù)$F_{1}$的最大值和函數(shù)$F_{2}$的最小值的差為$h$,求$h$關于$c$的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量$c$的取值范圍.方面的知識分享給大家,希望大家會喜歡哦。
$left(1right)because F_{1}$:$y=x+1$,$F_{1}$和$F_{2}$關于$y$軸對稱,$therefore F_{2}$:$y=-x+1$。
分別令$x=2$,則$2+1=3$,$-2+1=-1$。
$therefore Pleft(2,3right)$,$Qleft(2,-1right)$,$therefore PQ=3-left(-1right)=4$。
故答案為:$4$;$(2)because F_{1}$:$y=frac{3}{x}$,可得:$F_{2}$:$y=frac{-3}{x}$,$because x=t$。
可得:$P(t$,$frac{3}{t}$),$Q(t$。
$frac{-3}{t})$,$therefore PQ=frac{3}{t}-frac{-3}{t}=frac{6}{t}=6$,解得:$t=1$。
經(jīng)檢驗:$t=1$是原方程的解,故答案為:$1$;$(3)$①$because F_{1}$:$y=ax^{2}+bx+c$,$therefore F_{2}$:$y=ax^{2}-bx+c$。
$because t=frac{sqrt}$,分別代入$F_{1}$,$F_{2}$。
可得:$P(frac{sqrt}$,$frac{a}+sqrt+c$),$Q(frac{sqrt}$。
$frac{a}-sqrt+c)$,$therefore PQ=|frac{a}+sqrt+c-(frac{a}-sqrt+c)|=2sqrt$,$therefore S_{triangle OPQ}=frac{1}{2}×2sqrt×frac{sqrt}=1$;②$because $函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象與$x$軸正半軸分別交于點$Aleft(5,0right)$。
$Bleft(1,0right)$,而函數(shù)$F_{1}$和$F_{2}$的圖象關于$y$軸對稱,$therefore $函數(shù)$F_{1}$的圖象經(jīng)過$Aleft(5,0right)$和$left(-1,0right)$。
$therefore $設$F_{1}$:$y=aleft(x+1right)left(x-5right)=ax^{2}-4ax-5a$,則$F_{2}$:$y=ax^{2}+4ax-5a$,$therefore F_{1}$的圖象的對稱軸是直線$x=2$。
且$c=-5a$,$therefore a=-frac{c}{5}$,$because c gt 0$。
則$a lt 0$,$c+1 gt 1$,而$F_{2}$的圖象在$x gt 0$時。
$y$隨$x$的增大而減小,當$0 lt c lt 1$時,$F_{1}$的圖象$y$隨$x$的增大而增大。
$F_{2}$的圖象$y$隨$x$的增大而減小,$therefore $當$x=c+1$時,$y=ax^{2}-4ax-5a$的最大值為$aleft(c+1right)^{2}-4aleft(c+1right)-5a$。
$y=ax^{2}+4ax-5a$的最小值為$aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a$,則$h=aleft(c+1right)^{2}-4aleft(c+1right)-5a-[aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a]=-8ac-8a$,又$because a=-frac{c}{5}$。
$therefore h=frac{8}{5}{c}^{2}+frac{8}{5}c$;當$1leqslant cleqslant 2$時,$F_{1}$的最大值為$frac{4a×(-5a)-(-4a)^{2}}{4a}=-9a$,$F_{2}$的圖象$y$隨$x$的增大而減小。
$therefore F_{2}$的最小值為:$aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a$,則$h=-9a-[aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a]=-aleft(c+1right)^{2}-4aleft(c+1right)-4a=-ac^{2}-6ac-9a$,又$because a=-frac{c}{5}$。
$therefore h=frac{1}{5}{c}^{3}+frac{6}{5}{c}^{2}+frac{9}{5}c$,當$c gt 2$時,$F_{1}$的圖象$y$隨$x$的增大而減小。
$F_{2}$的圖象$y$隨$x$的增大而減小,$therefore $當$x=c$時,$y=ax^{2}-4ax-5a$的最大值為$ac^{2}-4ac-5a$。
當$x=c+1$時,$y=ax^{2}+4ax-5a$的最小值為$aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a$,則$h=ac^{2}-4ac-5a-[aleft(c+1right)^{2}+4aleft(c+1right)-5a]$。
又$because a=-frac{c}{5}$,$therefore h=2c^{2}+c$;綜上:$h$關于$x$的解析式為:$h=left{begin{array}{l}{frac{8}{5}{c}^{2}+frac{8}{5}c(0<c<1)}{frac{1}{5}{c}^{3}+frac{6}{5}{c}^{2}+frac{9}{5}c(1≤c≤2)}{2{c}^{2}+c(c>2)}end{array}right.$.。
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