每日小編都會為大家?guī)硪恍┲R類的文章，那么今天小編為大家?guī)淼氖悄：龜?shù)學(xué)法方面的消息知識，那么如果各位小伙伴感興趣的話可以，認(rèn)真的查閱一下下面的內(nèi)容哦。

模糊數(shù)學(xué)是用數(shù)學(xué)方法研究和處理具有“模糊性”現(xiàn)象的一門科學(xué)，它是由美國控制論專家查德（Zadeh L.A.）在1965年創(chuàng)立的。模糊數(shù)學(xué)的理論和方法雖然還不很完善，但是已顯示出強(qiáng)大的生命力。

模糊數(shù)學(xué)的方法彌補(bǔ)了“綜合指數(shù)法”忽略水質(zhì)分級界線的模糊性的缺陷。因?yàn)榈叵滤h(huán)境系統(tǒng)存在如下特征。

1）水環(huán)境系統(tǒng)中污染物質(zhì)之間存在著復(fù)雜的、難以明確的相關(guān)關(guān)系。水污染是由各污染因子共同作用的結(jié)果，它是一個連續(xù)、漸變、邊界模糊的復(fù)雜過程，在評價時客觀上存在模糊性。

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2）根據(jù)水的用途和環(huán)境指標(biāo)來確定水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)時，若用單一的每個因素的數(shù)值來表征其特征和用途，在標(biāo)準(zhǔn)選取上，人為因素極大，在客觀上人們對水質(zhì)的要求而制定的標(biāo)準(zhǔn)也存在模糊性。

現(xiàn)業(yè)已式即海界約王按易。

3）經(jīng)過各種單項(xiàng)及綜合運(yùn)算后，對水質(zhì)量給出一個結(jié)論，由于水質(zhì)量是一個連續(xù)的變化的事件，因此給出的結(jié)論也存在模糊性（孫幼平等，1988）。

下種行度比入常接必更具傳低響太江派。

根據(jù)上述特征，為了真實(shí)地刻畫這個過程，針對其模糊性，運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)理論進(jìn)行處理，對地下水水質(zhì)的評價會給出比較客觀的結(jié)果。

（一）模糊綜合評判法

所謂模糊評判，就是根據(jù)給出的評價標(biāo)準(zhǔn)和實(shí)測值，經(jīng)過模糊變換，對事物的全體作出總的評價的一種方法。

模糊綜合評判問題，實(shí)際上就是模糊變換問題，它的原理可用模式（4-27）表示：

B=A·R （4-27）

式中：A為因子權(quán)重。

為了突出地下水水質(zhì)成分的主要因子，對各種樣品、各因子視其在模糊分級標(biāo)準(zhǔn)中不同情況，分別賦權(quán)，得權(quán)重A。A是由各評價因子的權(quán)重處理后所構(gòu)成的1×m階行矩陣，稱為輸入。

權(quán)重A與評價的方法和目的有關(guān)。賦權(quán)應(yīng)以各評價因子對地下水質(zhì)量影響的貢獻(xiàn)為主要考慮因素。若多種因子對地下水質(zhì)量影響時，應(yīng)能反映出多因子之間的協(xié)同、頡頏作用狀況。在實(shí)際評價中，由于化學(xué)組分在地下水系統(tǒng)介質(zhì)中遷移轉(zhuǎn)化的機(jī)制不易認(rèn)清，所以合理賦權(quán)是比較困難的。一般采用環(huán)境質(zhì)量分指數(shù)法求出權(quán)重A。

為了進(jìn)行模糊變換，Wi應(yīng)滿足歸一化要求：

區(qū)域地下水功能可持續(xù)性評價理論與方法研究

進(jìn)行歸一化，計(jì)算公式為

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式中：Wi為經(jīng)歸一化i因子的權(quán)重。

由此構(gòu)成（1×m）權(quán)重矩陣：A=（W1，W2，…，Wm）

R為模糊轉(zhuǎn)換器，是由若干個單因子評價行向量構(gòu)成的，它表示從被考查要素到評定最高等級的一種模糊轉(zhuǎn)化關(guān)系，其模糊關(guān)系矩陣為

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B為綜合評判結(jié)果，稱為輸出。

B是要求的評價結(jié)果，它是評價集上一個模糊子集，用一個1×n行向量的形式表示。

B=（μ（x1），μ（x2），…，μ（xi））

上式中各個元是各因子對于評價等級的隸屬度。

μmn的計(jì)算采用降半梯形法，換算公式如表4-4所示（韓銀富等，2000）。

表4-4 隸屬度μmn計(jì)算公式一覽表續(xù)表

概括地說，已知輸入和模糊轉(zhuǎn)換器求輸出，就是模糊綜合評判（付雁鵬等，1987）。

綜合評判，即A與R兩個模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算，采用（∧，∨）型綜合評判計(jì)算法，類似于普通矩陣乘法，只是將矩陣乘法運(yùn)算中的“×”號改為“∧”號，將“+”號改為“∨”號，“∧”意為兩數(shù)中取小值，“∨”意為兩數(shù)中取大值。復(fù)合運(yùn)算的結(jié)果，表示某水樣相對于各個質(zhì)量類別的綜合評判隸屬度。

根據(jù)所評價的綜合隸屬度，比較各級隸屬度的大小。其中，隸屬度最大者所在等級，即為水樣點(diǎn)的分類等級。

若Bi=max｛B1，B2，…，Bn｝，則該樣品水質(zhì)等級定為第i級。

多樣品水質(zhì)按從優(yōu)到劣排序的原則；同級別水質(zhì)，比較各樣品其鄰級較優(yōu)級別的隸屬度，大的先排；不同級別水質(zhì)，較劣的后排。

將模糊綜合評判法應(yīng)用到地下水質(zhì)量評價中，可得出一個客觀的綜合評價結(jié)論，以及各種組分影響程度的順序。

模糊綜合判別法的局限性：

1）B=A·R是通過“∨”，“∧”得到的，這種運(yùn)算形式過分強(qiáng)調(diào)了極值的作用，這就勢必丟掉一些數(shù)據(jù)所提供的信息，使判斷結(jié)果顯得“粗糙”，如評價函數(shù)呈現(xiàn)b1=b2=…=bm的情況時，就給最后的判別造成困難。

2）由于強(qiáng)調(diào)“取小，取大”，如果A中各分量小于R中各量，復(fù)合結(jié)果R中各量將全部被篩選掉，使單因素判別失去作用，結(jié)果形成以權(quán)數(shù)作為評判函數(shù)的現(xiàn)象。

以上情況會影響評價的精度。為了得到更好的評價結(jié)果，可根據(jù)實(shí)際情況，將“∨”，“∧”換成其他形式的算子進(jìn)行評判，表4-5列出了幾種常見的算子形式（付雁鵬等，1987）。

表4-5 其他幾種常見的算子形式

注：a，b分別表示μa（x），μb（x）；a·b表示普通實(shí)數(shù)乘法；⊕表示有界和運(yùn)算。

如果采用一種算子評判把握不準(zhǔn)，可以同時采用多種算子分別評判，最后進(jìn)行評判結(jié)果比較，確定客觀的較優(yōu)的結(jié)論。

（二）相似優(yōu)先比法

相似優(yōu)先比法是模糊數(shù)學(xué)中的一種計(jì)算方法，是在被選擇對象所組成的集合上，根據(jù)一些因素建立一個模糊相似關(guān)系，然后由表現(xiàn)這個模糊關(guān)系的模糊矩陣來決定元素的優(yōu)劣。借助這種方法，可以對集合中元素按優(yōu)劣程度排序。

模糊相似矩陣是以海明距離比為基礎(chǔ)構(gòu)建的，使用λ截矩陣概念計(jì)算各分區(qū)與環(huán)境目標(biāo)值相似程度的次序。

1.海明距離

dki=xk-xi （4-29）

dkj=xk-xj （4-30）

式中：xk為某級水質(zhì)（環(huán)境目標(biāo)值）標(biāo)準(zhǔn)值；xi，xj為被比較的兩個區(qū)的實(shí)測平均值。

2.模糊相似優(yōu)先比

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rji=1-rij （4-32）

若rij在（0.5，1）之間，表示xi比xj優(yōu)先；若rij在（0，0.5）之間，表示xj比xi優(yōu)先。

理想情況有3種：若rij=1，表示xi顯然比xj優(yōu)先；若rij=0，表示xj顯然比xi優(yōu)先；若rij=0.5，無法確定優(yōu)先比，兩個選擇等價。

3.模糊相似優(yōu)先比矩陣

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4.相似程度

根據(jù)實(shí)際情況，在［0，1］之間由大到小選定一系列λ值（λ為評價樣品與標(biāo)準(zhǔn)值相似程序的界限），作出相似的矩陣Rλ，得出各因子與目標(biāo)之間的相似程度，并按求λ截矩陣的次序?qū)⒃嘏判颉?/p>

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5.綜合排序

綜合排序，即將各元素的多種排序的序號求和，序號和越小，則該元素越優(yōu)，反之，則差。

應(yīng)用相似優(yōu)先比法對地下水質(zhì)量進(jìn)行優(yōu)劣排序，效果較好。但是建立模糊相似關(guān)系矩陣和求λ截矩陣的工作比較繁瑣，為避免較大的計(jì)算量，建議當(dāng)樣品少時，應(yīng)用此方法（胡志榮等，1996）。

（三）Fuzzy距離定序法

Fuzzy距離定序法是在相似優(yōu)先比法的基礎(chǔ)上，將繁瑣的建立模糊相似關(guān)系矩陣和求λ截矩陣的工作，通過變換待定序樣品的序列，分析利用Fuzzy距離確定的Fuzzy優(yōu)先矩陣的性質(zhì)給出Fuzzy優(yōu)先關(guān)系定序的簡化方法。

Fuzzy距離定序法簡介：

設(shè)已知給定一標(biāo)準(zhǔn)樣品為

B=（b1，b2，…，bi） （4-35）

式中：i=1，2，…，m。

給定待序樣品序列為A′：

A′1，A′2，…，A′i，…，A′n （4-36）

式中：A′i=（ai1，ai2，…，aij），1≤i≤n，1≤j≤m，即每一個樣品由m個指標(biāo)構(gòu)成。

由于樣品的各項(xiàng)指標(biāo)單位各異，同一指標(biāo)可能相差較大，為充分發(fā)揮樣品各項(xiàng)指標(biāo)在綜合評比中的作用，首先對樣品序列A′中每一樣品的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。然后計(jì)算待定序樣與標(biāo)準(zhǔn)樣品之間的Fuzzy距離，具體計(jì)算時采用下述公式：

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式中：d（Ai，B）為樣品Ai與標(biāo)準(zhǔn)樣品B的Fuzzy距離；xik為待定序樣品Ai的第k項(xiàng)指標(biāo)；dk為樣品第k項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重，且 ；p為選定的常數(shù)，p=1時，式（4-37）為加權(quán)海明距離；p=2時，為加權(quán)歐氏距離。

用式（4-35）通過計(jì)算得到待定序樣品A′與標(biāo)準(zhǔn)樣品B之間Fuzzy距離序列D′：

d（A1，B），d（A2，B），…，d（Ai，B），…，d（An，B） （4-38）

對序列（4-36）按從小到大的次序排列，得到新的Fuzzy距離序列d：

d1，d2，…，di，…，dn （4-39）

其中：d1＜d2，…＜di…＜dn

對樣品序列式（4-36），按樣品在序列式（4-39）中相應(yīng)出現(xiàn)的先后次序進(jìn)行重新排列，得到新的樣品序列A：

A1，A2，…，Ai，…，An （4-40）

若在序列式（4-39）中，存在di=dj，則相應(yīng)把序列式（4-40）寫成：

A1，…，A2，…，Ai，Aj，…，An

把Fuzzy距離按從小到大的順序排列，待定序樣品在距離序列中相應(yīng)出現(xiàn)的先后次序即為所求的排列結(jié)果。對地下水質(zhì)量優(yōu)劣排序而言，F(xiàn)uzzy距離由小到大代表地下水質(zhì)量由優(yōu)到劣。

利用Fuzzy距離定序法進(jìn)行地下水質(zhì)量優(yōu)劣排序，比相似優(yōu)先比法簡便，計(jì)算量小，評別易行，尤其當(dāng)樣品多時，更體現(xiàn)出此方法的有效性。但是此方法存在許多問題需進(jìn)一步研究和探討，如Fuzzy距離公式的選用、樣品指標(biāo)權(quán)數(shù)的確定等。因?yàn)镕uzzy距離定序法，定序的結(jié)果與Fuzzy距離有關(guān)，因此，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題選用適當(dāng)?shù)挠?jì)算公式，并結(jié)合研究區(qū)的水文地質(zhì)條件及監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)劣排序；樣品指標(biāo)權(quán)數(shù)的選取是人為根據(jù)諸指標(biāo)對地下水質(zhì)量貢獻(xiàn)大小來進(jìn)行的，需要對各因素的影響有比較清楚的認(rèn)識，才能夠把握權(quán)重值。

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