在數(shù)學(xué)方面，沒有研究人員真正孤立地工作。即使是那些獨自工作的人也會使用他們的同事和前輩的定理和方法來發(fā)展新的想法。

但是，當(dāng)一種已知的技術(shù)在實踐中難以使用時，數(shù)學(xué)家可能忽略了重要的 - 以及其他可解決的 - 問題。

最近，我和幾位數(shù)學(xué)家一起參與了一個項目，使這種技術(shù)更容易使用。我們制作了一個計算機軟件包來解決一個叫做“S單元方程”的問題，希望所有條紋的數(shù)字理論家能夠更容易地解決數(shù)學(xué)中各種未解決的問題。

丟番圖方程

在他的文本“ Arithmetica ”中，數(shù)學(xué)家Diophantus研究了代數(shù)方程，其解必須是整數(shù)。碰巧，這些問題與數(shù)論和幾何學(xué)有很大關(guān)系，數(shù)學(xué)家們從那以后一直在研究它們。

為什么只添加全數(shù)解決方案的限制?有時，原因是實際的; 養(yǎng)13.7只羊或購買-1.66只汽車是沒有意義的。此外，數(shù)學(xué)家也被這些問題所吸引，現(xiàn)在稱為丟番圖方程。吸引力來自于他們驚人的困難，以及他們揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的基本真理的能力。

事實上，數(shù)學(xué)家通常對任何特定的丟番圖問題的具體解決方案不感興趣。但是，當(dāng)數(shù)學(xué)家開發(fā)新技術(shù)時，可以通過解決先前未解決的丟番圖方程來證明它們的能力。

安德魯威爾斯 關(guān)于費馬最后定理的證明是一個著名的例子。皮埃爾·德·費馬在1637年聲稱 - 在“算術(shù)”的副本范圍內(nèi)，并沒有 - 解決了丟番圖方程x?+y?=z?，但沒有提供任何理由。當(dāng)Wiles在300多年后證明它時，數(shù)學(xué)家立即注意到了。如果威爾斯已經(jīng)開發(fā)出一種可以解決費馬的新想法，那么這個想法還能做些什么呢?數(shù)理論家參加了比賽，了解威爾斯的方法，概括了他們并發(fā)現(xiàn)了新的后果。

沒有一種方法可以解決所有丟番圖方程。相反，數(shù)學(xué)家培養(yǎng)各種技術(shù)，每種技術(shù)都適用于某些類型的丟番圖問題而不適用于其他問題。因此，數(shù)學(xué)家通過其特征或復(fù)雜性對這些問題進行分類，就像生物學(xué)家可能通過分類法對物種進行分類一樣。

更精細的分類

這種分類產(chǎn)生了專家，因為不同數(shù)量的理論家專注于與不同的丟番圖問題家族相關(guān)的技術(shù)，例如橢圓曲線，二元形式或Thue-Mahler方程。

在每個家庭中，更精細的分類得到定制。數(shù)學(xué)家發(fā)展不變量 - 方程中出現(xiàn)的系數(shù)的某些組合 - 區(qū)分同一族中的不同方程。計算特定方程的這些不變量很容易。然而，與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的更深層次的聯(lián)系涉及更多雄心勃勃的問題，例如：“是否存在具有不變13的橢圓曲線?” 或“有多少二進制形式有不變的27?”

S單位方程可用于解決許多這些更大的問題。S指的是與特定問題相關(guān)的素數(shù)列表，如{2,3,7}。S單位是一個分數(shù)，其分子和分母是通過僅乘以列表中的數(shù)字而形成的。所以在這種情況下，3/7和14/9是S單位，但6/5不是。

S單位方程看起來很簡單：查找所有S對單位的對數(shù)，增加到1.找到一些解決方案，如(3 / 7,4 / 7)，可以用筆和紙來完成。但關(guān)鍵詞是“全部”，這就是理論上和計算上使問題困難的原因。你怎么能確定找到每個解決方案?

原則上，數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道如何解決S單位方程多年。然而，這個過程是如此令人費解，以至于沒有人能夠手工解決這個等式，并且很少有案例得到解決。這令人沮喪，因為許多有趣的問題已經(jīng)被簡化為“只是”解決某些特定的S單位方程。

求解器如何工作

然而，情況正在發(fā)生變化。自2017年以來，包括我自己在內(nèi)的六個北美數(shù)字理論家一直在為開源數(shù)學(xué)軟件SageMath構(gòu)建一個S單元方程求解器。3月3日，我們宣布完成該項目。為了說明其應(yīng)用，我們使用該軟件解決了幾個開放的丟番圖問題。

S單元方程的主要困難在于，雖然只存在少數(shù)解決方案，但是無限多的S單元可以成為解決方案的一部分。通過結(jié)合Alan Baker的著名定理和Benne de Weger 的精巧算法技術(shù)，求解器消除了大多數(shù)S單元。即使在這一點上，仍有數(shù)十億個S單位或更多單位需要檢查; 該程序現(xiàn)在嘗試盡可能高效地進行最終搜索。

這種S單位方程的方法已經(jīng)有20多年的歷史，但是只能謹慎使用，因為所涉及的計算既復(fù)雜又耗時。以前，如果數(shù)學(xué)家遇到了她想要解決的S單位方程，那么就沒有自動解決方法。她必須小心地完成Baker，de Weger和其他人的工作，然后編寫自己的計算機程序來進行計算。運行程序可能需要數(shù)小時，數(shù)天甚至數(shù)周才能完成計算。

我們希望該軟件能夠幫助數(shù)學(xué)家解決數(shù)論中的重要問題，增強他們對數(shù)學(xué)的本質(zhì)，美感和有效性的理解。